Implication et équivalence/Exercices/Quelques chausse-trappes

Exercice 1-1

Soit à résoudre l'équation $x^{2}+x+1=0$ (E).

Expliquer pourquoi le raisonnement suivant est incorrect :

(E) équivaut à $x^{2}=-(x+1)$ (1)

(E) équivaut aussi à $x\neq 0\quad {\text{et}}\quad x+1+{\frac {1}{x}}=0$ donc à

$x\neq 0\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{x}}=-(x+1)$ (2).

Avec (1) et (2) on déduit :

$x\neq 0\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{x}}=x^{2}$,

qui équivaut à

$x^{3}=1$ (3)

donc à $x=1$.

Finalement, $S=\{1\}$.

Or on vérifie facilement que $x=1$ n’est pas solution de (E).

Que s'est-il passé ?

Solution

(E), (1), (2) sont bien deux à deux équivalents, et chacun d'eux (ou une quelconque conjonction de certains d'entre eux, comme « (1) et (2) ») implique bien (3) (on aurait d'ailleurs pu montrer plus directement que (E) implique (3), en utilisant que $(X^{2}+X+1)(X-1)=X^{3}-1$), mais on n'a pas démontré la réciproque, donc on peut seulement affirmer que $S\subset \{1\}$.

Finalement, puisque $x=1$ n'est pas solution de (E), $S=\varnothing$.