Droites et plans de l'espace/Exercices/Droites et plans

Exercice 1-1

Donner une équation paramétrique de la droite passant par le point de coordonnées $\left(3,{\frac {3}{4}},{\sqrt {2}}\right)$ et dirigée par le vecteur de coordonnées $\left(2,{\frac {1}{2}},1\right)$.

Solution

${\begin{cases}x=3+2t\\y={\frac {3}{4}}+{\frac {t}{2}}\\z={\sqrt {2}}+t\end{cases}}\qquad (t\in \mathbb {R} )$.

 

Exercice 1-2

Donner une équation paramétrique de la droite D menée par le point (1,1,1), parallèle au plan d'équation $x+y+z=0$ et rencontrant la droite d'équation paramétrique

${\begin{cases}x=1+2t\\y=2+t\\z=1-2t\end{cases}}\qquad (t\in \mathbb {R} )$.

Solution

Les coordonnées $(a,b,c)=(1+2t,2+t,1-2t)$ du point d'intersection des deux droites vérifient :

$0=(a-1)+(b-1)+(c-1)=(1+2t)+(2+t)+(1-2t)-3=t+1$

donc $t=-1$, $(a-1,b-1,c-1)=(-2,0,2)=2(-1,0,1)$ et D a pour équation paramétrique :

${\begin{cases}x=1-t\\y=1\\z=1+t\end{cases}}\qquad (t\in \mathbb {R} )$.

 

Exercice 1-3

Donner une équation du plan P' perpendiculaire au plan P d'équation $2x+y-2z+1=0$ et contenant la droite D d'équation $4x+3y+2z-4=0,\;2x-11y-4z-12=0$.

Solution

D a pour équation paramétrique

${\begin{cases}x=t\\y=2t-4\\z=-5t+8\end{cases}}\qquad (t\in \mathbb {R} )$

et P a pour vecteur normal $(2,1,-2)$, donc P' a pour équation paramétrique

${\begin{cases}x=t+2s\\y=2t-4+s\\z=-5t+8-2s\end{cases}}\qquad (t,s\in \mathbb {R} )$

et pour équation cartésienne

$x=8y+3z+8$.

 

Exercice 1-4

Dans chacun des deux cas suivants, donner un paramétrage de la droite définie par les deux équations :

1. $x+y-z+1=0,\;2x+y+z+2=0$ ;
2. $2x+3y-z+2=0,\;x+y-2z+5=0$.

Solution

Par exemple :

1. ${\begin{cases}x=-1-2t\\y=3t\\z=t\end{cases}}\qquad (t\in \mathbb {R} )$ ;
2. ${\begin{cases}x=-13+5t\\y=8-3t\\z=t\end{cases}}\qquad (t\in \mathbb {R} )$.

 

Exercice 1-5

Donner une équation cartésienne du plan passant par le point de coordonnées (1, 2, 3) et dont un vecteur normal a pour coordonnées (–1, 3, 5).

Solution

$-1\times (x-1)+3\times (y-2)+5\times (z-3)=0\Leftrightarrow -x+3y+5z-20=0$.