Droites et plans de l'espace/Droites et plans de l'espace euclidien

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Dans ce dernier chapitre, on suppose que :

• l'espace $E$ (de dimension 3) est euclidien, c'est-à-dire que son espace vectoriel sous-jacent est muni d'un d'un produit scalaire donc d'une notion d'orthogonalité ;
• le repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$ est orthonormé, c'est-à-dire que ses trois vecteurs ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ sont unitaires et orthogonaux deux à deux : $\|{\vec {i}}\|=\|{\vec {j}}\|=\|{\vec {k}}\|=1$ et ${\vec {i}}\cdot {\vec {j}}={\vec {i}}\cdot {\vec {k}}={\vec {j}}\cdot {\vec {k}}=0$.

Le produit scalaire s'exprime alors simplement en fonction des coordonnées :

$(x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}})\cdot (x'{\vec {i}}+y'{\vec {j}}+z'{\vec {k}})=xx'+yy'+zz'$.

Plan défini par un point et vecteur normal

De même qu'une droite du plan euclidien, un plan du 3-espace euclidien est de codimension 1 donc peut être défini par un point et un vecteur normal :

Début d’un théorème

Théorème

Pour tout point $A$ et tout vecteur non nul ${\vec {n}}$, l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que ${\overrightarrow {AM}}\perp {\vec {n}}$ est un plan.

Réciproquement, pour tout plan $(P)$ de l'espace, il existe un vecteur ${\vec {n}}$ et un point $A$ tels que

$(P)=\{M\in E\mid {\overrightarrow {AM}}\perp {\vec {n}}\}$.

Fin du théorème

Démonstration

Si ${\vec {n}}=a{\vec {i}}+b{\vec {j}}+c{\vec {k}}$ et $d=-ax_{A}-by_{A}-cz_{A}$,

${\overrightarrow {AM}}\perp {\vec {n}}\Leftrightarrow a(x-x_{A})+b(y-y_{A})+c(z-z_{A})=0\Leftrightarrow ax+by+cz+d=0$.

 

Remarques

• Le point $A$ peut être choisi arbitrairement dans $(P)$.
• Les coordonnées du vecteur ${\vec {n}}$ sont les coefficients $a,b,c$ d'une équation $ax+by+cz+d=0$ de $(P)$ donc :
  • ${\vec {n}}$ est unique à proportionnalité près ;
  • deux plans sont parallèles si et seulement s'ils ont mêmes vecteurs normaux.
• Nous avons vu au chapitre 3 comment, pour un plan, passer d'une équation cartésienne à un (bi-)paramétrage, et inversement. Dans ce nouveau langage, cela revient, mise à part la donnée d'un point $A$ de $(P)$, à passer d'un vecteur non nul ${\vec {n}}$ à deux vecteurs non colinéaires orthogonaux à ${\vec {n}}$, et inversement.

Droite passant par un point et orthogonale à deux vecteurs

Puisque toute droite est définie par deux équations indépendantes et inversement, on en déduit immédiatement :

Corollaire

Pour tout point $A$ et tous vecteurs non colinéaires ${\vec {n}},{\vec {n}}'$, l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que ${\overrightarrow {AM}}$ soit orthogonal à ${\vec {n}}$ et ${\vec {n}}'$ est une droite.

Réciproquement, pour toute droite $(D)$ de l'espace, il existe deux vecteurs ${\vec {n}},{\vec {n}}'$ et un point $A$ tels que

$(D)=\{M\in E\mid {\overrightarrow {AM}}\perp {\vec {n}}{\text{ et }}{\overrightarrow {AM}}\perp {\vec {n}}'\}$.

Remarque

Un vecteur est orthogonal à $\mathbb {R} {\vec {n}}+\mathbb {R} {\vec {n}}'$ si (et, bien sûr, seulement si) il est orthogonal à ${\vec {n}}$ et ${\vec {n}}'$.