Probabilités sur les ensembles finis/Formule des probabilités totales

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Partition

Définition

On dit que des événements $B_{1},B_{2},...,B_{n}$ forment une partition de $\Omega$ si :

• ils sont non vides ;
• ils sont deux à deux incompatibles ;
• leur réunion est $\Omega$.

Formule des probabilités totales

Début d’un théorème

Théorème

Soient n événements $B_{1},B_{2},...,B_{n}$, de probabilités non nulles, réalisant une partition de l'univers $\Omega$. Pour tout événement $A$, on a :

${\begin{aligned}p(A)&=p(A\cap B_{1})+p(A\cap B_{2})+...+p(A\cap B_{n})\\&=p_{B_{1}}(A)\times p(B_{1})+p_{B_{2}}(A)\times p(B_{2})+...+p_{B_{n}}(A)\times p(B_{n}).\end{aligned}}$

En particulier, $p(A)=p(A\cap B)+p(A\cap {\overline {B}})$.

Fin du théorème