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Exercice : Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant
Fonction exponentielle/Exercices/Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Méthode générale
Début d’un principe
Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant
On prend le
pour faire « descendre » l’exposant.
Lorsqu'on manipule des inégalités, il faut prendre garde au changement de sens éventuel de l'inégalité si l'on est amené à diviser par le logarithme d'un nombre inférieur à 1, car un tel logarithme est négatif.
Fin du principe
Équations
Exercice 1
Existe-t-il un entier
tel que
?
Solution
. Ou moins savamment : en divisant 14348907 15 fois de suite par 3, on finit par tomber sur 1.
Exercice 2
Résoudre dans
l'équation
.
Solution
.
Exercice 3
Résoudre dans
l'équation
.
Solution
.
Exercice 4
Résoudre dans
l'équation
.
Solution
Exercice 5
On note
les pressions atmosphériques, un jour donné, aux altitudes 0, 100, 200, et 1 000 mètres.
La pression atmosphérique diminue approximativement de 1 % lorsqu’on s’élève de 100 mètres. Ce jour-là,
1 000 hP.
- 1. Calculer
en fonction de
. Que représente ce nombre ?
- 2. Déterminer, en fonction de l’altitude
en centaines de mètres, la pression
.
- 3. Le baromètre d’un ermite marque 950 hP. À quelle altitude se trouve-t-il ?
Solution
- 1.
. Ce nombre représente la pression à l'altitude 100n mètres
- 2.
.
- 3.
![{\displaystyle {\begin{aligned}1\,000\left(0{,}99\right)^{x}=950&\Leftrightarrow \left(0{,}99\right)^{x}=0{,}95\\&\Leftrightarrow x={\frac {\ln 0{,}95}{\ln 0{,}99}}\\&\Rightarrow x\approx 5{,}10.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0627a554e318ac9219b7d1f24e644f3b024663)
- L'ermite se trouve donc à environ 510 mètres.
Inéquations
ln est croissante. On peut donc prendre le ln des deux membres d'une inégalité sans changer le sens de l’inégalité.
Exercice 6
Résoudre dans
l'inéquation
.
Solution
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1{,}5)^{x}>15678&\Leftrightarrow \ln \left(((1{,}5)^{x}\right)>\ln 15678\\&\Leftrightarrow x~\ln 1{,}5>\ln 15678.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2279eaa5dbc4c2cd0c6948e06b6075fe2d5fa202)
donc on peut diviser par ce nombre sans changer le sens de l’inégalité. On obtient :
.
L'ensemble des solutions est :
.
Exercice 7
Résoudre dans
l'inéquation
.
Solution
![{\displaystyle {\begin{aligned}(0{,}7)^{x}>0{,}000006&\Leftrightarrow \ln \left((0{,}7)^{x}\right)>\ln 0{,}000006\\&\Leftrightarrow x~\ln 0{,}7>\ln 0{,}000006.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c96a0c5b7dc09a53ded870b19a78e76477c5515)
donc il faut changer le sens de l’inégalité en divisant par ce nombre. On obtient :
.
L'ensemble des solutions est :
.
Exercice 8
Résoudre dans
l'inéquation
.
Solution
![{\displaystyle {\begin{aligned}5^{x}<2{,}105647&\Leftrightarrow \ln \left(5^{x}\right)<\ln 2{,}105647\\&\Leftrightarrow x~\ln 5<\ln 2{,}105647.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9ec63b100dd82d9edbe03ea9ea44cdbc82d8c1)
donc on peut diviser par ce nombre sans changer le sens de l’inégalité. On obtient :
.
L'ensemble des solutions est :
.
Exercice 9
Résoudre dans
l'inéquation
.
Solution
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {3}{5}}\right)^{x}<0{,}000003&\Leftrightarrow \ln \left(\left(0{,}6\right)^{x}\right)<\ln 0{,}000003\\&\Leftrightarrow x~\ln 0{,}6<\ln 0{,}000003.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89080978e5635de8b054d89dab25d6c83a65a241)
donc il faut changer le sens de l’inégalité en divisant par ce nombre. On obtient :
.
L'ensemble des solutions est :
.
Exercice 10
Un capital de 2 000 € est placé à intérêts composés à un taux annuel de 10 %.
Combien d'années faudra-t-il pour que la somme placée dépasse 13 454 € ?
Solution
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\,000\cdot 1{,}1^{n}\geq 13\,454&\Leftrightarrow 1{,}1^{n}\geq {\frac {13\,454}{2\,000}}\\&\Leftrightarrow 1{,}1^{n}\geq 6{,}727\\&\Leftrightarrow n\geq {\frac {\ln 6{,}727}{\ln 1{,}1}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb0d2c30a9554a063f062d75eaf321d5984ae57a)
donc le placement dépassera les 13 454 € au bout de 20 ans.
Exercice 11
Deux capitaux sont placés simultanément à intérêts composés : le premier de 35 000 € à 12 % l’an, le second de 40 000 € à 9 % l’an. Calculer le nombre d’années à partir duquel le premier placement dépassera le second.
Solution
Au terme de l'année i, les placements vaudront :
pour le premier placement
pour le deuxième placement
On cherche à déterminer à partir de quelle valeur de i on aura
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}(i)\geq C_{2}(i)&\Leftrightarrow 35\,000\cdot 1{,}12^{i}\geq 40\,000\cdot 1{,}09^{i}\\&\Leftrightarrow \left({\frac {1,12}{1,09}}\right)^{i}\geq {\frac {40\,000}{35\,000}}\\&\Leftrightarrow \left({\frac {112}{109}}\right)^{i}\geq {\frac {8}{7}}\\&\Leftrightarrow \ln \left(\left({\frac {112}{109}}\right)^{i}\right)\geq \ln {\frac {8}{7}}\\&\Leftrightarrow i\ln {\frac {112}{109}}\geq \ln {\frac {8}{7}}\\&\Leftrightarrow i\geq {\frac {\ln {\frac {8}{7}}}{\ln {\frac {112}{109}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd84aed870489360000f1b6f3652ad5687b1f5a9)
On a
.
Le premier placement dépassera donc le second au bout de 5 ans.
Exercice 12
Combien de chiffres le nombre
possède-t-il ?
Solution
Soit
son nombre de chiffres.
.