En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Équations comportant des exponentielles
Fonction exponentielle/Exercices/Équations comportant des exponentielles », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Objectif : On se propose de résoudre un certain nombre d'équations où l'inconnue
est toujours « dans une exponentielle ».
Principe général : On change d'inconnue en posant
, on résout en
puis avec
, on revient à l'inconnue de départ
.
NB : il faut garder à l'esprit que X devra être positif pour pouvoir trouver des solutions car c’est une exponentielle.
Résoudre dans
l'équation
.
Solution
Soit
.
.
On pose
. On obtient
.
NB : il n'y a plus d'exposant
, le nombre e (constant) ne gêne nullement la résolution. Il s'agit maintenant d'une équation du premier degré d'inconnue
.
On revient à
grâce à la fonction logarithme :
.
|
Résoudre dans
l'équation
.
Solution
Soit
.
.
On pose
. On obtient
Comme
, on peut utiliser la fonction
pour trouver la solution de (E2) :
.
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Résoudre dans
l'équation
.
Solution
Soit
.
et
donc les quotients n'engendrent pas de restriction particulière.
On remarque alors que cette assertion est vérifiée pour tout
!
L'ensemble des solutions de (E3) est donc .
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Résoudre dans
l'équation
.
Solution
Soit
.
.
On pose
. On a alors
.
C'est une équation du second degré en X de discriminant
. Elle admet donc deux racines réelles
et
.
On revient à l'inconnue x grâce à la fonction logarithme :
et
, qui n'est pas défini.
L'unique solution de (E4) est donc .
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NB : on peut aussi dire pour x₂ « il n'y a pas de nombre x₂ dont l'exponentielle soit -0,5, car une exponentielle est toujours positive ».
Résoudre dans
l'équation
.
Solution
Soit
.
.
On pose
:
.
Le discriminant de cette équation du second degré en X est
.
Cette équation du second degré en X n'admet donc pas de racine réelle.
L'ensemble des solutions de (E5) est .
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Résoudre dans
l'équation
.
Solution
Soit
.
Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs (au moins) est nul, donc
Comme l'équation
d'inconnue x n'admet pas de solution,
l'unique solution de (E6) est .
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Résoudre dans
l'équation
.
Solution
Soit
. On pose
.
.
Cette équation du second degré a pour discriminant
, donc n'admet aucune racine réelle.
L'ensemble des solutions de (E7) est donc .
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Résoudre dans
l'équation
.
Solution
Soit
. On pose
(donc
).
Alors,
(car l'autre solution,
, est exclue).
L'unique solution de (E8) est .
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Résoudre

Solution
Soit
.
On pose
et
.
On résout le système avec une méthode au choix et l'on trouve pour solution unique
.
On revient à (x, y) grâce à la fonction
:
.
L'unique solution de (S) est .
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