Fonction exponentielle/Exercices/Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Méthode générale

Début d’un principe

Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant

On prend le $\ln \,$ pour faire « descendre » l’exposant.

Lorsqu'on manipule des inégalités, il faut prendre garde au changement de sens éventuel de l'inégalité si on est amené à diviser par le logarithme d'un nombre inférieur à 1, qui est un nombre négatif.

Fin du principe

Équations

Exercice 1

Existe-t-il un entier n tel que $3^{n}=14348907\,$ ?

Solution

$3^{n}=14348907$

En remarquant que $3^{n}=e^{(n\times \ln 3)}$, il vient $n\times \ln 3=\ln 14348907$.

Soit $n={\frac {\ln 14348907}{\ln 3}}=15$

 

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E_{1})~:~3^{x}=19683\,$ d'inconnue x.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R} ^{+*}$.

On prend le $\ln \,$ des deux membres $(E_{1})\Leftrightarrow \ln(3^{x})=\ln(19683)\Leftrightarrow x~\ln(3)=\ln(19683)$.

Or $19683=3^{9}\,$ donc $\ln(19683)=\ln(3^{9})=9~\ln(3)$

Donc $(E_{1})\Leftrightarrow x={\frac {\ln(19683)}{\ln(3)}}=9$

 

Exercice

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E_{2})~:~5^{x}=19100\,$ d'inconnue x.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice

Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $(E_{3})~:~5\cdot (2,5)^{x}=411111$ d'inconnue x.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$

Pour pouvoir résoudre cette équation, nous allons réécrire la puissance sous sa forme exponentielle :

$~5\cdot (2,5)^{x}=5\exp \left[x\,\ln(2,5)\right]$

On prend le logarithme des deux parties de l'équation à résoudre (411111 étant un nombre positif et non-nul) :

${\begin{aligned}(E_{3})&\Leftrightarrow 5\exp \left[x\,\ln(2,5)\right]=411111\\&\Leftrightarrow \ln(5)+x\,\ln(2,5)=\ln(411111)\\&\Leftrightarrow x={\frac {\ln(411111)-\ln(5)}{\ln(2,5)}}\\&\Leftrightarrow x={\frac {\ln(82222,2)}{\ln(2,5)}}\end{aligned}}$

On peut donner une valeur approchée de la solution : $x\approx 12,3\pm 0,1$.

 

Exercice

On note $u_{0},u_{1},u_{2},\ldots ,u_{10}$ les pressions atmosphériques, un jour donné, aux altitudes 0, 100, 200, et 1000 mètres.

La pression atmosphérique diminue approximativement de 1% lorsqu’on s’élève de 100 mètres. Ce jour-là $u_{0}=1000hP$

1. Calculer $u_{n}$ en fonction de n, que représente ce nombre.

2. Déterminer en fonction de l’altitude x en centaines de mètres, la pression $p(x)$.

3. Le baromètre d’un ermite marque 950 hP, à quelle altitude se trouve-t-il ?

Solution

1. Calculer $u_{n}$ en fonction de n, que représente ce nombre.

$u_{n}=1\,000^{1-{\frac {n}{100}}}$

Ce nombre représente donc la pression à une altitude $u_{n}$.

2. Déterminer en fonction de l’altitude x en centaines de mètres, la pression $p(x)$.

$p(n)=p(x)=1\,000^{1-{\frac {x}{100}}}$

3. Le baromètre d’un ermite marque 950 hP, à quelle altitude se trouve-t-il ?

On cherche à résoudre :

$p(x)=950$

Soit :

${\begin{aligned}p(x)=950&\Leftrightarrow 1\,000^{1-{\frac {x}{100}}}=950\\&\Leftrightarrow 1-{\frac {x}{100}}={\frac {ln(950)}{ln(1000)}}\\&\Leftrightarrow x=-(100\cdot ({\frac {ln(950)}{ln(1000)}}-1))\\&\Leftrightarrow x\approx 0,74\\\end{aligned}}$

L'ermite se trouve donc à environ 74 mètres.

 

Inéquations

Exercice

Résoudre l'inéquation $I_{1}~:~(1,5)^{x}>15678$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$.

ln est croissante, on peut donc prendre le ln de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :

${\begin{aligned}I_{1}&\Leftrightarrow \ln((1,5)^{x})>\ln(15678)\\&\Leftrightarrow x~\ln(1,5)>\ln(15678)\end{aligned}}$

$\ln(1,5)>0\,$ donc on peut diviser par ce nombre sans changer le sens de l’inégalité. On obtient :

$I_{1}\Leftrightarrow x>{\frac {\ln(15678)}{\ln(1,5)}}\approx 23,8\pm 0,1$

L'ensemble des solutions de (I₁) est alors $\left]{\frac {\ln(15678)}{\ln(1,5)}};+\infty \right[$

 

Exercice

Résoudre l'inéquation $(I_{2})~:~(0,7)^{x}>0,000006$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$.

ln est croissante, on peut donc prendre le ln de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :

${\begin{aligned}I_{2}&\Leftrightarrow \ln((0,7)^{x})>\ln(0,000006)\\&\Leftrightarrow x~\ln(0,7)>\ln(0,000006)\end{aligned}}$

$\ln(0,7)<0\,$ donc il faut changer le sens de l’inégalité en divisant par ce nombre. On obtient :

$I_{2}\Leftrightarrow x<{\frac {\ln(0,000006)}{\ln(0,7)}}\approx 33,7\pm 0,1$

L'ensemble des solutions de (I₂) est alors $\left]-\infty ;{\frac {\ln(0,000006)}{\ln(0,7)}}\right[$

 

Exercice

Résoudre l'inéquation $(I_{3})~:~5^{x}<2,105647$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$.

ln est croissante, on peut donc prendre le ln de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :

${\begin{aligned}I_{3}&\Leftrightarrow \ln(5^{x})<\ln(2,105647)\\&\Leftrightarrow x~\ln(5)<\ln(2,105647)\end{aligned}}$

$\ln(5)>0\,$ donc on peut diviser par ce nombre sans changer le sens de l’inégalité. On obtient :

$I_{3}\Leftrightarrow x<{\frac {\ln(2,105647)}{\ln(5)}}\approx 0,46\pm 0,01$

L'ensemble des solutions de (I₃) est alors $\left]-\infty ;{\frac {\ln(2,105647)}{\ln(5)}}\right[$

 

Exercice

Résoudre l'inéquation $(I_{4})~:~\left({\frac {3}{5}}\right)^{x}<0,000003$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$.

Solution

Soit $x\in \mathbb {R}$.

ln est croissante, on peut donc prendre le ln de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :

${\begin{aligned}I_{4}&\Leftrightarrow \ln \left(\left({\frac {3}{5}}\right)^{x}\right)<\ln(0,000003)\\&\Leftrightarrow x~\ln \left({\frac {3}{5}}\right)<\ln(0,000003)\end{aligned}}$

$\ln \left({\frac {3}{5}}\right)<0\,$ donc il faut changer le sens de l’inégalité en divisant par ce nombre. On obtient :

$I_{2}\Leftrightarrow x>{\frac {\ln(0,000003)}{\ln \left({\frac {3}{5}}\right)}}\approx 24,9\pm 0,1$

L'ensemble des solutions de (I₄) est alors $\left]{\frac {\ln(0,000003)}{\ln \left({\frac {3}{5}}\right)}};+\infty \right[$

 

Exercice

Un capital de 2000€ est placé à intérêts composés à un taux annuel de 10%.

Combien d'années faudra-t-il pour que la somme placée dépasse 13454 € ?

Solution

Après i années de placement, on aura :

$C(i)=2\,000\cdot 1,10^{i}$ pour notre placement de 2000 €.

On cherche en fait à résoudre :

$2\,000\cdot 1,10^{i}\geq 13454$

${\begin{aligned}C(i)\geq 13454&\Leftrightarrow 2\,000\cdot 1,10^{i}\geq 13454\\&\Leftrightarrow 1,10^{i}\geq {\frac {13\,454}{2\,000}}\\&\Leftrightarrow i\geq {\frac {ln({\frac {13\,454}{2\,000}})}{ln(1,10)}}\\&\Leftrightarrow i\geq 19,999\end{aligned}}$

Le placement dépassera les 13454 € au bout de 20 ans.

 

Exercice

Deux capitaux sont placés simultanément à intérêts composés : le premier de 35000 € à 12 % l’an, le second de 40000 € à 9 % l’an. Calculer le nombre d’années à partir duquel le premier placement dépassera le second.

Solution

Au terme de l'année i, les placements vaudront :

• $C_{1}(i)=35\,000\cdot 1,12^{i}$ pour le premier placement
• $C_{2}(i)=40\,000\cdot 1,09^{i}$ pour le deuxième placement

On cherche à déterminer à partir de quelle valeur de i on aura $C_{1}(i)\geq C_{2}(i)$

Soit $i\in \mathbb {N}$

${\begin{aligned}C_{1}(i)\geq C_{2}(i)&\Leftrightarrow 35\,000\cdot 1,12^{i}\geq 40\,000\cdot 1,09^{i}\\&\Leftrightarrow \left({\frac {1,12}{1,09}}\right)^{i}\geq {\frac {40\,000}{35\,000}}\\&\Leftrightarrow \ln \left(\left({\frac {1,12}{1,09}}\right)^{i}\right)\geq \ln \left({\frac {40\,000}{35\,000}}\right)\\&\Leftrightarrow i\ln \left({\frac {1,12}{1,09}}\right)\geq \ln \left({\frac {8}{7}}\right)\\&\Leftrightarrow i\geq {\frac {\ln \left({\frac {8}{7}}\right)}{\ln \left({\frac {1,12}{1,09}}\right)}}\\\end{aligned}}$

On a ${\frac {\ln \left({\frac {8}{7}}\right)}{\ln \left({\frac {1,12}{1,09}}\right)}}\approx 4,92$

Le premier placement dépassera donc le second au bout de 5 ans.

 

Exercice

Food for thought : Combien de chiffres le nombre $2^{500}\,$ possède-t-il ?

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}