Racine carrée/Introduction

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Racines carrées

À quoi sert le calcul symbolique avec les racines carrées ?

Certains nombres ne peuvent s'exprimer exactement ni sous forme décimale, ni sous forme de fraction.

On peut alors essayer de les écrire sous forme de racines carrées.

Définition

Si $a$ est un nombre positif, la racine carrée de $a$ est le seul nombre positif dont le carré est $a$.

Elle se note : ${\sqrt {a}}$.

Premières propriétés

Propriété

Le carré d’une racine carrée d’un nombre (positif) est égal au nombre lui-même :

$\left({\sqrt {a}}\right)^{2}=a$.

​

Propriété

La racine carrée du carré d’un nombre positif est égale au nombre lui-même :

Si $a\geq 0$ alors ${\sqrt {\left(a^{2}\right)}}=a$.

​ Observer les différents placements du carré dans ces formules !

Exemples

${\sqrt {9}}^{2}=3^{2}=9$

${\sqrt {3^{2}}}={\sqrt {9}}=3$

$car\ 3^{2}=3\times 3=9$

Racines carrées et multiplication

La racine carrée « se comporte bien » avec les multiplications.

Propriété

Si a et b sont deux nombres positifs :

${\sqrt {a\times b}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$.

Exemple

${\sqrt {9\times 4}}={\sqrt {36}}=6$

${\sqrt {9}}\times {\sqrt {4}}=3\times 2=6$

On obtient bien le même résultat.

Démonstration

Soit deux nombres : a et b. Leur carré respectif sont les nombres A et B :

$A=a\times a$

$B=b\times b$

Autrement dit :

$a={\sqrt {A}}$

$b={\sqrt {B}}$

${\sqrt {A\times B}}={\sqrt {a\times a\times b\times b}}$

${\sqrt {A\times B}}={\sqrt {(a\times b)\times (a\times b)}}$

${\sqrt {A\times B}}=a\times b={\sqrt {A}}\times {\sqrt {B}}$

 

Cette propriété pourrait-elle se vérifier avec une addition ?

Application à la simplification d’une racine carrée

Simplifier en utilisant la propriété de la multiplication : ${\sqrt {28}}$.

Solution

${\sqrt {28}}={\sqrt {4\times 7}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {7}}=2\times {\sqrt {7}}{\text{ ou encore }}2{\sqrt {7}}$.

 

Unicité de la simplification avec b entier le plus petit possible

Un même nombre a plusieurs écritures de la forme : $a{\sqrt {b}}$

Pour donner le résultat exact d’un calcul, on l’écrit avec l'entier b le plus petit possible.

Ainsi un résultat comportant une racine carrée a une unique écriture « irréductible », comme les fractions.

Exemple

${\sqrt {392}}={\sqrt {49\times 8}}={\sqrt {49}}\times {\sqrt {8}}=7{\sqrt {8}}$

Mais :

$7{\sqrt {8}}=7\times {\sqrt {4\times 2}}=7\times 2{\sqrt {2}}=14{\sqrt {2}}$

donc : ${\sqrt {392}}=7{\sqrt {8}}=14{\sqrt {2}}$

mais la forme la plus simple est : $14{\sqrt {2}}$ car b = 2 est le plus petit possible.

Racines carrées et division

La racine carrée « se comporte bien » avec les divisions.

Propriété

Si a et b sont deux nombres positifs, et si b est différent de 0.

${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$.

Exemple

${\sqrt {\frac {9}{4}}}={\sqrt {2{,}25}}=1{,}5{\text{ rappelez-vous }}15^{2}=225$

${\frac {\sqrt {9}}{\sqrt {4}}}={\frac {3}{2}}=1{,}5$

On obtient bien le même résultat.

Démonstration

Soit deux nombres : a et b. Leur carré respectif sont les nombres A et B :

$A=a\times a$

$B=b\times b$

Autrement dit :

$a={\sqrt {A}}$

$b={\sqrt {B}}$

${\sqrt {\frac {A}{B}}}={\sqrt {\frac {a\times a}{b\times b}}}$

${\sqrt {\frac {A}{B}}}={\sqrt {{\frac {a}{b}}\times {\frac {a}{b}}}}$

${\sqrt {\frac {A}{B}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sqrt {A}}{\sqrt {B}}}$

 

Application à la simplification d’une racine carrée

Simplifier en utilisant la propriété de la division : ${\sqrt {\frac {16}{9}}}$.

Solution

${\sqrt {\frac {16}{9}}}={\frac {\sqrt {16}}{\sqrt {9}}}={\frac {4}{3}}$.

 

Des fractions sans racines carrées au dénominateur

Pour avoir une écriture simplifiée unique, on a l'habitude d'écrire les fractions comportant des racines carrées sans racines au dénominateur (sous le trait de fraction). On utilise la propriété de la division.

Exemple

Donner une écriture de : ${\frac {5}{\sqrt {7}}}$ sans racines carrées au dénominateur.

Solution

${\frac {5}{\sqrt {7}}}={\frac {5\times {\sqrt {7}}}{{\sqrt {7}}\times {\sqrt {7}}}}={\frac {5\times {\sqrt {7}}}{7}}={\frac {5}{7}}\times {\sqrt {7}}$.