Fonction dérivée/Dérivée de la puissance énième d'une fonction

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Problématique : Comment dériver directement des fonctions comme $x\mapsto (x^{2}-3)^{4}$ ou $x\mapsto (\cos(x))^{3}$ ?

On donne une formule générale très simple à retenir et à appliquer.

Fonctions de la forme uⁿ

Début d’un théorème

Théorème

Soient une fonction u dérivable sur un ensemble I et n un entier relatif

Soit ƒ la fonction définie par $f:x\mapsto u(x)^{n}$

Alors ƒ est dérivable sur I et de plus:

Pour tout $x\in I,~f'(x)=n.u(x)^{n-1}.u'(x)$.

Fin du théorème

Remarque : Dans l’écriture $u(x)^{n}$ , c’est bien le nombre $u(x)$ qui est mis à la puissance n et pas seulement x.

Exemple

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto (3x+5)^{2}$ définie sur $\mathbb {R}$

Ici on a :

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=3x+5$
• n = 2
• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(x)=u(x)^{n}$

On applique le théorème :

• u est dérivable sur $\mathbb {R}$, donc ƒ est dérivable sur $\mathbb {R}$
• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u'(x)=3$
• Donc d’après le théorème, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2\times 3(3x+5)^{2-1}=6(3x+5)=18x+30$

Exemple

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto (x^{2}-3)^{4}$, définie sur $\mathbb {R}$

Ici on a :

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=x^{2}-3$
• n = 4
• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(x)=u(x)^{n}$

On applique le théorème :

• u est dérivable sur $\mathbb {R}$, donc ƒ est dérivable sur $\mathbb {R}$
• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u'(x)=2x$
• Donc d’après le théorème, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=8x(x^{2}-3)^{3}$

Exemple

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto \cos(x)^{3}=\cos ^{3}(x)$ (attention à cette notation !), définie sur $\mathbb {R}$.

Ici on a :

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cos(x)$
• n = 3
• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(x)=u(x)^{n}$

On applique le théorème :

• u est dérivable sur $\mathbb {R}$, donc ƒ est dérivable sur $\mathbb {R}$
• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u'(x)=-\sin(x)$
• Donc d’après le théorème, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-3\sin(x)\cdot \cos ^{2}(x)$

Exercice

Dériver les trois fonctions suivantes:

$f:x\mapsto \left({\frac {1}{x}}+2\right)^{5}$, définie sur $\mathbb {R} ^{*}$ $g:x\mapsto ({\sqrt {x}}-x)^{2}$, définie sur $[0;+\infty [$ $h:x\mapsto 5\sin ^{3}(x)$, définie sur $\mathbb {R}$

Solution

ƒ est dérivable sur $\mathbb {R} ^{*}$ et, pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*}f'(x)=5\left({\frac {-1}{x^{2}}}\right)\left({\frac {1}{x}}+2\right)^{4}$

g est dérivable sur $\color {red}]\color {black}0;+\infty [$ et, pour tout $]0;+\infty [,~g'(x)=2\left({\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}-1\right)({\sqrt {x}}-x)$

Attention à l'intervalle de dérivabilité, la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

h est dérivable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~h'(x)=15\cos(x)\sin ^{2}(x)$

 

Fonction de la forme 1/uⁿ

Début d’un théorème

Théorème

Soient une fonction u dérivable sur un ensemble I et n un entier strictement positif.

Soit ƒ la fonction définie par $f:x\mapsto {\frac {1}{u(x)^{n}}}$

Alors ƒ est dérivable sur l’ensemble des valeurs de I sauf les valeurs pour lesquelles u s’annule et :

pour tout x dans cet ensemble, $f'(x)={\frac {-n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}}$

Fin du théorème

Remarque : Cette formule peut se démontrer en étendant la précédente à n négatif ou encore en appliquant u/v.

Exemple

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto {\frac {1}{(-x^{3}+2x)^{2}}}$, définie sur un certain domaine I pour lequel $x\mapsto -x^{3}+2x$ ne s'annule pas.

Ici on a :

• Pour tout $x\in I,~u(x)=-x^{3}+2x$
• n = 2
• Pour tout $x\in I,~f(x)={\frac {1}{u(x)^{n}}}$

On applique le théorème :

• u est dérivable sur I et ne s'annule pas sur I, donc ƒ est dérivable sur I
• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u'(x)=-3x^{2}+2$
• Donc d’après le théorème, pour tout $x\in I,~f'(x)={\frac {6x^{2}-4}{(-x^{3}+2x)^{3}}}$

Exercice

Dériver les trois fonctions suivantes :

• $f:x\mapsto {\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}$, définie sur $I_{f}=]0;\,\pi [$
• $g:x\mapsto {\frac {5}{(x^{3}-4)^{2}}}$, définie sur $I_{g}=\mathbb {R} \backslash \{{\sqrt[{3}]{4}}\}$
• $h:x\mapsto {\frac {-2}{(x+1)^{3}}}$, définie sur $I_{h}=\mathbb {R} \backslash \{-1\}$

Solution

Fonction ƒ

• Pour tout $x\in I_{f},~u(x)=\sin(x)$
• n = 2
• Pour tout $x\in I_{f},~f(x)={\frac {1}{u(x)^{n}}}$

On applique le théorème :

• u est dérivable sur I_f et ne s'annule pas sur I_f, donc ƒ est dérivable sur I_f
• Pour tout $x\in I_{f},~u'(x)=\cos(x)$
• Donc d’après le théorème, pour tout $x\in I_{f},~f'(x)={\frac {-2\cos(x)}{\sin ^{3}(x)}}$

---

Fonction g

• Pour tout $x\in I_{g},~u(x)=x^{3}-4$
• n = 2
• Pour tout $x\in I_{g},~g(x)=5\cdot {\frac {1}{u(x)^{n}}}$

On applique le théorème :

• u est dérivable sur I_g et ne s'annule pas sur I_g, donc g est dérivable sur I_g
• Pour tout $x\in I_{g},~u'(x)=3x^{2}$
• Donc d’après le théorème, pour tout $x\in I_{g},~g'(x)=5{\frac {-2\cdot 3x^{2}}{(x^{3}-4)^{3}}}={\frac {-30x^{2}}{(x^{3}-4)^{3}}}$

---

Fonction h

• Pour tout $x\in I_{h},~u(x)=x+1$
• n = 3
• Pour tout $x\in I_{h},~h(x)=-2{\frac {1}{u(x)^{n}}}$

On applique le théorème :

• u est dérivable sur I_h et ne s'annule pas sur I_h, donc h est dérivable sur I_h
• Pour tout $x\in I_{h},~u'(x)=1$
• Donc d’après le théorème, pour tout $x\in I_{h},~h'(x)={\frac {6}{(x+1)^{4}}}$