En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Pour les cracks
Expressions algébriques/Exercices/Pour les cracks », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans toute la page, même si ce n'est pas indiqué, les variables prennent des valeurs telles que les calculs soient définis.
Exercice 9-1
Démontrer que si l'expression algébrique :
est nulle, alors l'expression :
est nulle aussi.
La réciproque est-elle vraie ?
(Si la réciproque est fausse, on pourra le démontrer en se contentant de donner un contre-exemple)
Solution
On vérifiera, en développant le second membre que l'on a la factorisation suivante :
qui s'écrit :
et nous voyons clairement que si
est nulle alors
est nulle aussi.
En ce qui concerne la réciproque.
L'expression :
ne peut visiblement pas être nulle.
donc toujours en considérant l'expression :
nous voyons que si l’expression
est nulle, l'expression
le sera aussi.
La réciproque est donc vraie aussi.
Exercice 9-2
Factorisez le polynôme :
Solution
Nous observons des différences de carrés. On a donc :
Exercice 9-3
Supposons que l'on ait la relation :
Montrer que cette relation est toujours vraie après permutation simultanée de
et
, de
et
ainsi que de
et
.
Solution
En fait, nous devons montrer que :
Posons :
Nous en déduisons :
Nous remarquons que permuter circulairement
,
et
revient à permuter circulairement
,
et
Nous avons alors :
L'expression :
étant invariante par permutation circulaire de
,
et
, nous en déduisons :
Exercice 9-4
Dans cet exercice,
sont supposées être des constantes fixées et
sont supposées être des variables.
Montrez que l'expression algébrique :
conserve la même valeur pour toutes les valeurs de
qui annulent
.
Solution
Supposons
, alors :
Nous obtenons bien une expression indépendante de
.