Introduction aux suites numériques/Suites arithmétiques

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Définition par récurrence

Définition

Une suite est arithmétique quand on ajoute toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite arithmétique est donc définie par :

• la donnée de son premier terme u₀
• une relation de récurrence de la forme :
  $u_{n+1}=u_{n}+r$

Le nombre r qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite (u_n).

Exercices d'application

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont arithmétiques ? Quelle est alors leur raison ?

• $u_{0}=1,~u_{1}=3,~u_{2}=5,~u_{3}=7,~u_{4}=9,~u_{5}=11,~u_{6}=13,\ldots$
• 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, ...
• 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
• 7, 14, 28, 56, 112, 224, 448, ...
• 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, ...

Solution

• La première suite est de raison 2.
• La seconde n’est pas arithmétique.
• La troisième suite est arithmétique de raison 5.
• La quatrième suite n’est pas arithmétique car chaque terme est égal au double du terme qui le précède (on dit alors qu'elle est géométrique de raison 2).
• Enfin la dernière suite est arithmétique de raison -2 (en effet la raison peut être un nombre quelconque dans $\mathbb {R}$)

 

Terme général d'une suite arithmétique

Pour arriver à u_n, il faut ajouter n fois la raison r au premier terme u₀

Début d’un théorème

Théorème

Le terme général d'une suite arithmétique (u_n) est donné par la formule :

$u_{n}=u_{0}+n\times r$

Fin du théorème

Utilisation du terme général

1. Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique telle que $u_{0}=-3$ et $r=3,5$. Calculer $u_{11}$.
2. Soit $(v_{n})$ une suite arithmétique telle que $v_{0}=24$ et $r=-6$. Calculer $v_{25}$.
3. Soit $(w_{n})$ une suite arithmétique telle que $w_{1}=2$ et $r=6,25$. Calculer $w_{10}$.
4. Soit $(s_{n})$ une suite arithmétique telle que $s_{15}=2$ et $r=6$. Calculer $s_{0}$.
5. Soit $(t_{n})$ une suite arithmétique telle que $t_{11}=25$ et $t_{4}=6$. Calculer $t_{0}$ et $r$.

Solution

1. $u_{11}=-3+11\times 3,5=35,5$
2. $v_{25}=24+-6\times 25=-126$
3. $w_{10}=2-6,25+6,25\times 10=58,25$
4. $s_{0}=2-15\times 6=-88$
5. $t_{11}=t_{4}+7r$ donc $r={\frac {t_{11}-t_{4}}{7}}={\frac {19}{7}}$. De plus, $t_{0}=t_{4}-4r=6-4{\frac {19}{7}}=-{\frac {34}{7}}$.

 

Somme des termes d'une suite arithmétique

Somme des premiers entiers

Comment calculer simplement ?

$S=1+2+3+\ldots +98+99+100$

Il suffit d’utiliser la formule :

$S=1+2+3+\ldots +n={\frac {n\times (n+1)}{2}}$

On trouve donc :

$S=1+2+3+\ldots +98+99+100=5050$

Généralisation

Début d’un théorème

Théorème

La somme des (n+1) premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule :

$u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}={(n+1) \over 2}(u_{0}+u_{n})$

Fin du théorème

La somme des termes d'une progression arithmétique est égale à la demi-somme des termes extrêmes multipliée par le nombre des termes de la suite.

Calculs de sommes

En utilisant la formule, calculer :

• $S=1+3+5+7+9+\ldots +131=\ldots$
• $S=7+9+11+13+\ldots +99=\ldots$

Solution

• On remarque que (1,3,5...) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u₀=1
  • 131=u₆₅
  • L'application de la formule donne alors $S=1+3+5+7+9+\ldots +131={\frac {65+1}{2}}(1+131)=4356$
• On remarque que (7,9,11...) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u₀=7
  • 99=u₄₆
  • L'application de la formule donne alors $S=7+9+\ldots +99={\frac {46+1}{2}}(7+99)=2491$

 

Sens de variation

Début d’un théorème

Théorème

Une suite arithmétique de raison r est :

• croissante si $r>0$
• décroissante si $r<0$
• constante si $r=0$.

Fin du théorème

Représentation graphique et lien avec les fonctions affines

Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, l’expression du terme général montre que :

si on définit la fonction affine $\scriptstyle {f(x)=r\times x+u_{0}}$, alors $u_{n}=f(n)$.

Début d’un théorème

Théorème

Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r,

si on place n en abscisse et u_n en ordonnée,

les points correspondants sont alignés sur la droite représentative de la fonction affine :

$f(x)=r\times x+u_{0}$

Fin du théorème

Si $u_{n}$ = a + bn , alors ($u_{n}$) est une suite arithmétique de raison b et de premier terme a.

Graphiques

• Placer dans un repère orthogonal les 10 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u₀ = -3 et de raison 3,5. Quelle est l'équation de la droite sur laquelle ils sont alignés ?

Solution

• L'expression explicite des termes de cette suite est pour tout $n\in \mathbb {N} ,~u_{n}=-3+3.5n$.
• Les points sont alors positionnés sur la droite d'équation $y=3.5x-3$