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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Feuille d'exercices 1Mathématiques en MP/Exercices/Feuille d'exercices 1 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Voici une série d'exercices de mathématiques non directifs (une unique question) de niveau Mathématiques Spéciales (ou Supérieures pour quelques uns).
Exercice 1-1
Soit
E
{\displaystyle E}
un ensemble de
13
{\displaystyle 13}
réels. Démontrer qu'il existe
x
,
y
∈
E
{\displaystyle x,y\in E}
tels que
0
<
x
−
y
1
+
x
y
≤
2
−
3
{\displaystyle 0<{\frac {x-y}{1+xy}}\leq 2-{\sqrt {3}}}
.
Exercice 1-2
Calculer
∫
0
+
∞
e
−
t
ln
t
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}\ln t\,\mathrm {d} t}
.
Solution
D'après le théorème de convergence dominée (ou monotone ),
∫
0
+
∞
e
−
t
ln
t
d
t
=
lim
n
→
+
∞
∫
0
n
(
1
−
t
n
)
n
ln
t
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}\ln t\,\mathrm {d} t=\lim _{n\to +\infty }\int _{0}^{n}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}\ln t\,\mathrm {d} t}
.
Soit
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
.
∫
0
n
(
1
−
t
n
)
n
ln
t
d
t
=
n
∫
0
1
(
1
−
u
)
n
ln
(
n
u
)
d
u
=
n
ln
n
∫
0
1
(
1
−
u
)
n
d
u
+
n
∫
0
1
(
1
−
u
)
n
ln
u
d
u
=
n
ln
n
n
+
1
+
n
∫
0
1
(
1
−
u
)
n
ln
u
d
u
=
n
ln
n
n
+
1
+
n
∫
0
1
x
n
ln
(
1
−
x
)
d
x
=
n
ln
n
n
+
1
−
n
∫
0
1
x
n
∑
k
=
1
+
∞
x
k
k
d
x
=
n
ln
n
n
+
1
−
n
∑
k
=
1
+
∞
∫
0
1
x
n
+
k
k
d
x
=
n
ln
n
n
+
1
−
∑
k
=
1
+
∞
n
(
n
+
k
+
1
)
k
=
n
ln
n
n
+
1
−
n
n
+
1
∑
k
=
1
+
∞
(
1
k
−
1
n
+
k
+
1
)
=
n
ln
n
n
+
1
−
n
n
+
1
(
1
+
1
2
+
⋯
+
1
n
+
1
)
=
n
ln
n
n
+
1
−
n
n
+
1
(
ln
n
+
γ
+
o
(
1
)
)
=
−
γ
+
o
(
1
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{n}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}\ln t\,\mathrm {d} t&=n\int _{0}^{1}\left(1-u\right)^{n}\ln \left(nu\right)\,\mathrm {d} u\\&=n\ln n\int _{0}^{1}\left(1-u\right)^{n}\,\mathrm {d} u+n\int _{0}^{1}\left(1-u\right)^{n}\ln u\,\mathrm {d} u\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}+n\int _{0}^{1}\left(1-u\right)^{n}\ln u\,\mathrm {d} u\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}+n\int _{0}^{1}x^{n}\ln \left(1-x\right)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}-n\int _{0}^{1}x^{n}\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {x^{k}}{k}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}-n\sum _{k=1}^{+\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n+k}}{k}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}-\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {n}{(n+k+1)k}}\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}\sum _{k=1}^{+\infty }{\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{n+k+1}}\right)}\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}\left(1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{n+1}}\right)\\&={\frac {n\ln n}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}\left(\ln n+\gamma +o(1)\right)\\&=-\gamma +o(1),\end{aligned}}}
où
γ
{\displaystyle \gamma }
est la constante d'Euler-Mascheroni .
On en déduit que
∫
0
+
∞
e
−
t
ln
t
d
t
=
−
γ
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}\ln t\,\mathrm {d} t=-\gamma }
.
Pour une variante, voir la réponse de Felix Marin (et le commentaire de Mark Viola) dans « Showing that
γ
=
−
∫
0
∞
e
−
t
log
t
d
t
{\displaystyle \gamma =-\int _{0}^{\infty }e^{-t}\log t\,dt}
, where
γ
{\displaystyle \gamma }
is the Euler-Mascheroni constant » , sur math.stackexchange.com .
Exercice 1-3
Quelle est la nature de la série de terme général
sin
(
π
(
3
+
5
)
n
)
{\displaystyle \sin \left(\pi \left(3+{\sqrt {5}}\right)^{n}\right)}
?
Exercice 1-4
Soit
f
:
[
0
,
1
]
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle f:[0,1]\to [0,1]}
croissante. Montrer que
f
{\displaystyle f}
admet un point fixe.
Solution
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Notons
A
=
{
x
∈
[
0
,
1
]
∣
f
(
x
)
≤
x
}
{\displaystyle A=\left\{x\in [0,1]\mid f(x)\leq x\right\}}
.
A
{\displaystyle A}
est non vide car
f
(
1
)
≤
1
{\displaystyle f(1)\leq 1}
.
Notons
a
=
inf
A
{\displaystyle a=\inf A}
, et montrons que
f
(
a
)
=
a
{\displaystyle f(a)=a}
.
Tout d’abord, si
a
=
0
{\displaystyle a=0}
, alors
f
(
a
)
=
a
{\displaystyle f(a)=a}
, donc dans la suite, on suppose
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
.
Si
f
(
a
)
>
a
{\displaystyle f(a)>a}
, alors
a
∉
A
{\displaystyle a\not \in A}
et, par définition de la borne inférieure, il existe
b
∈
A
{\displaystyle b\in A}
tel que
b
−
a
<
f
(
a
)
−
a
{\displaystyle b-a<f(a)-a}
, c'est-à-dire
b
<
f
(
a
)
{\displaystyle b<f(a)}
. On a alors, par définition de
A
{\displaystyle A}
,
f
(
b
)
≤
b
{\displaystyle f(b)\leq b}
et par conséquent
f
(
b
)
<
f
(
a
)
{\displaystyle f(b)<f(a)}
. On a donc trouvé
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
tels que
a
<
b
{\displaystyle a<b}
et
f
(
a
)
>
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)>f(b)}
, ce qui contredit l'hypothèse
f
{\displaystyle f}
croissante sur
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
.
Si
f
(
a
)
<
a
{\displaystyle f(a)<a}
, alors
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
. On a alors, quel que soit
b
{\displaystyle b}
tel que
f
(
a
)
<
b
<
a
{\displaystyle f(a)<b<a}
,
b
∉
A
{\displaystyle b\not \in A}
, donc
f
(
b
)
>
b
{\displaystyle f(b)>b}
puis
f
(
b
)
>
f
(
a
)
{\displaystyle f(b)>f(a)}
. On a donc trouvé
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
tels que
b
<
a
{\displaystyle b<a}
et
f
(
b
)
>
f
(
a
)
{\displaystyle f(b)>f(a)}
, ce qui contredit l'hypothèse
f
{\displaystyle f}
croissante sur
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
.
On a ainsi l’existence de
a
{\displaystyle a}
tel que
f
(
a
)
=
a
{\displaystyle f(a)=a}
, c'est-à-dire l’existence d'un point fixe.
Exercice 1-5
Soit
F
(
x
)
=
∫
−
π
π
ln
(
x
2
−
2
x
cos
θ
+
1
)
d
θ
{\displaystyle F(x)=\int _{-\pi }^{\pi }{\ln \left(x^{2}-2x\cos \theta +1\right)\,\mathrm {d} \theta }}
. Montrer que
F
{\displaystyle F}
est définie sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
puis calculer
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
.
Exercice 1-6
Résoudre l'équation différentielle
y
″
+
y
=
cot
x
{\displaystyle y''+y=\cot x}
sur
]
0
,
π
[
{\displaystyle \left]0,\pi \right[}
.
Exercice 1-7
Résoudre
y
(
4
)
−
y
=
0
{\displaystyle y^{(4)}-y=0}
avec les conditions initiales
y
(
0
)
=
1
,
y
′
(
0
)
=
y
″
(
0
)
=
y
‴
(
0
)
=
0
{\displaystyle y(0)=1,\,y'(0)=y''(0)=y'''(0)=0}
.
Solution
y
=
a
e
x
+
b
e
−
x
+
c
cos
x
+
d
sin
x
{\displaystyle y=a\operatorname {e} ^{x}+b\operatorname {e} ^{-x}+c\cos x+d\sin x}
avec
a
+
b
+
c
=
1
,
a
−
b
+
d
=
a
+
b
−
c
=
a
−
b
−
d
=
0
{\displaystyle a+b+c=1,\,a-b+d=a+b-c=a-b-d=0}
, c'est-à-dire
a
=
b
=
1
4
,
c
=
1
2
,
d
=
0
{\displaystyle a=b={\frac {1}{4}},\,c={\frac {1}{2}},\,d=0}
.
Exercice 1-8
Montrer que tout sous-groupe additif de
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
est soit dense dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, soit de la forme
a
Z
{\displaystyle a\mathbb {Z} }
avec
a
∈
R
+
{\displaystyle a\in \mathbb {R} _{+}}
.
Montrer que
Z
+
2
π
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} +2\pi \mathbb {Z} }
est dense dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
.
Montrer que
cos
(
Z
)
¯
=
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle {\overline {\cos \left(\mathbb {Z} \right)}}=[-1,1]}
.