Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du troisième degré

Exercice

Soit la fonction ƒ définie sur $\mathbb {R}$ par $f:x\mapsto -x^{3}+3x^{2}+9x+6$

1. Calculer la dérivée de ƒ
2. Étudier le signe de cette dérivée
3. Tracer le tableau de variations de ƒ

Solution

1. Calculer la dérivée de ƒ

Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-3x^{2}+6x+9=3(-x^{2}+2x+3)$

2. Étudier le signe de cette dérivée

Le discriminant du polynôme du second degré $-X^{2}+2X+3$ vaut ${\begin{aligned}\Delta &=b^{2}-4ac\\&=2^{2}-4\times (-1)\times 3\\&=4+12\\&=16\end{aligned}}$

$\Delta >0$ donc le polynôme $-X^{2}+2X+3$ admet deux racines réelles distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$ : ${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\&={\frac {-2-{\sqrt {16}}}{-2}}\\&=3\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x_{2}&={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\&={\frac {-2+{\sqrt {16}}}{-2}}\\&=-1\end{aligned}}$

Le trinôme est du signe de a sauf entre les racines. On en déduit le tableau de signes de ƒ'

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&3&&+\infty \\&&&&&&&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~f'(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}$

3. Tracer le tableau de variations de ƒ

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&3&&+\infty \\\hline {\rm {Signe~de~}}f'(x)&&-&&+&&-&\\\hline &&&&&33&&\\{\textrm {Variations~de}}~f&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &\\&&&1&&&&\\\end{array}}$