Généralités sur les fonctions/Sens de variation

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Fonctions croissantes, fonctions décroissantes

Définition heuristique

Définition

On dit qu'une fonction f est croissante sur un intervalle I si :

quand x grandit, $f(x)$ grandit également.

Graphiquement, on voit que la courbe de f "monte" quand on se déplace de la gauche vers la droite.

Définition

On dit qu'une fonction f est décroissante sur un intervalle I si :

quand x grandit, $f(x)$ diminue.

Graphiquement, on voit que la courbe de f "descend" quand on se déplace de la gauche vers la droite.

Définition formelle

Les définitions précédentes ont l'avantage d’être intuitives.

Mais elle ne permettent pas de démontrer le sens de variation d'une fonction.

On donne donc deux définitions formelles qui leur sont équivalentes.

Définition

Une fonction f est croissante sur un intervalle I

quand pour tous réels a et b appartenant à I,

si $a<b$ alors $f(a)\leq f(b)$.

Remarques :

• si les inégalités sont strictes, on dira que f est strictement croissante sur I.
• Une fonction croissante "conserve" l'ordre.

Définition

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I

quand pour tous réels a et b appartenant à I,

si $a<b$ alors $f(a)\geq f(b)$.

Remarques :

• si les inégalités sont strictes, on dira que f est strictement décroissante sur I.
• Une fonction décroissante "change" l'ordre.

Variations d'une fonction

Définition

• Étudier les variations d'une fonction, c’est déterminer sur quels intervalles elle est croissante et sur quels intervalles elle est décroissante.
• On présente généralement les variations d'une fonction dans un "tableau de variations".

x	$-\infty$ $-{\frac {3}{2}}$ $+\infty$
f	$\searrow$ $\nearrow$ $-{\frac {5}{4}}$

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et $x_{0}$ un réel de I.

• $f(x_{0})$ est le maximum de f sur I si pour tout x appartenant à I, $f(x)\leq f(x_{0})$.
• On dit alors que le maximum $f(x_{0})$ est atteint en $x_{0}$.
• $f(x_{0})$ est donc la plus grande valeur prise par f sur I.
• $f(x_{0})$ est le minimum de f sur I si pour tout x appartenant à I, $f(x)\geq f(x_{0})$.
• On dit alors que le minimum $f(x_{0})$ est atteint en $x_{0}$.
• $f(x_{0})$ est donc la plus petite valeur prise par f sur I.