Fonction exponentielle/Exercices/Étude d'une fonction comportant des exponentielles

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Bac S (2001).

On appelle ƒ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par :

$f:x\mapsto {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

On désigne par ${\mathcal {C}}$ la courbe représentative de ƒ dans le plan rapporté à un repère orthonormal.

1. Question 1
   1. Déterminer les limites de ƒ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   2. Calculer ƒ '(x) pour tout nombre réel x et en déduire le sens de variation de ƒ sur $\mathbb {R}$.
2. Question 2
   1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 0.
   2. En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur $\mathbb {R}$ par $d:x\mapsto f(x)-x$, préciser la position de ${\mathcal {C}}$ par rapport à T.
   3. Tracer ${\mathcal {C}}$ et T.

Solution

1.1 Déterminer les limites de ƒ en $-\infty$ et en $+\infty$.

$\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty$

$\lim _{x\to +\infty }e^{-x}=0$

Donc $\lim _{x\to +\infty }e^{x}-e^{-x}=+\infty$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }e^{x}=0$

$\lim _{x\to -\infty }e^{-x}=+\infty$

Donc $\lim _{x\to -\infty }e^{x}-e^{-x}=-\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$

1.2 Calculer ƒ '(x) pour tout nombre réel x et en déduire le sens de variation de ƒ sur $\mathbb {R}$.

ƒ est dérivable et, pour tout $x\in \mathbb {R}$

$f'(x)={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-(-1)\times e^{-x}\right)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

Une exponentielle est toujours strictement positive, donc pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)>0$

ƒ est strictement croissante.

2.1 Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 0.

L'équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 0 est la droite d'équation $y=f(0)+f'(0)(x-0)$

La tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 0 est la droite $y=x$

2.2 En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur $\mathbb {R}$ par $d:x\mapsto f(x)-x$, préciser la position de ${\mathcal {C}}$ par rapport à T.

d est dérivable et, pour tout $x\in \mathbb {R}$

${\begin{aligned}d'(x)&=f'(x)-1\\&={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}-1\\&={\frac {e^{x}-2+e^{-x}}{2}}\\&={\frac {(e^{x/2})^{2}-2e^{x/2}e^{-x/2}+(e^{-x/2})^{2}}{2}}\\&={\frac {(e^{x/2}-e^{-x/2})^{2}}{2}}\\\end{aligned}}$

Un carré étant toujours positif, on obtient que d est croissante. Ce qui nous intéresse pour déterminer les positions relatives de T et ${\mathcal {C}}$ est le signe de d. On utilise les variations de d pour trouver son signe :

On remarque que d(0) = 0. Le tableau de variations est donc du type suivant :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&0&&+\infty \\\hline &&&&\nearrow &\\{\textrm {Variations~de}}~d&&&0&&\\&&\nearrow &&&\\\hline \end{array}}$

On en déduit que :

• d est négative sur $\mathbb {R} ^{-}$
• d est positive sur $\mathbb {R} ^{+}$

Finalement, Sur $\mathbb {R} ^{-}$, T est au-dessus de ${\mathcal {C}}$ Sur $\mathbb {R} ^{+}$, T est en-dessous de ${\mathcal {C}}$

2.3 Tracer ${\mathcal {C}}$ et T.

 

Une petite page de culture

La fonction ƒ est une fonction classique en mathématiques qui s’appelle la fonction « sinus hyperbolique », notée sh.

${\rm {sh}}:x\mapsto {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

Sa dérivée est la fonction « cosinus hyperbolique », notée ch.

${\rm {ch}}:x\mapsto {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

Ces fonctions sont respectivement les parties impaire et paire de l'exponentielle :

• pour tout $x\in \mathbb {R} ,~{\rm {sh}}(-x)=-{\rm {sh}}(x)$
• pour tout $x\in \mathbb {R} ,~{\rm {ch}}(-x)={\rm {ch}}(x)$
• pour tout $x\in \mathbb {R} ,~{\rm {ch}}(x)+{\rm {sh}}(x)=e^{x}$

De plus, elles disposent de propriétés algébriques très ressemblantes aux fonctions de trigonométrie classique. Par exemple ${\rm {ch}}^{2}-{\rm {sh}}^{2}=1$.

Pour aller plus loin, consulter le cours sur la trigonométrie hyperbolique.