Fonction exponentielle/Exercices/Équations différentielles

Exercice 1

Déterminer l'unique fonction dérivable sur $\mathbb {R}$ vérifiant les conditions données.

Puis vérifier que la solution convient dans chaque cas.

1. $f'=-3f$ et $f(0)=-2$.

2. $f'={\frac {1}{2}}f$ et $f(0)=3$

3. $4f'=f$ et $f(0)=0$

Solution

Exercice 1

On a : $f(x)=ke^{-3x}$.

Recherche de k. On sait que f(0) = - 2 donc k = - 2.

Finalement : $f(x)=-2e^{-3x}$.

Exercice 2

On a : $f(x)=ke^{{\frac {1}{2}}x}$.

Recherche de k. On sait que f(0) = 3 donc k = 3 .

Finalement :$f(x)=3e^{{\frac {1}{2}}x}$.

Exercice 3

L'équation se réécrit : $f'={\frac {1}{4}}f$

Donc $f(x)=ke^{{\frac {1}{}}x}$.

Recherche de k. On sait que f(0) = 0 donc k = 0 .

Finalement :$f(x)=0$.

 

Exercice 2

Déterminer l'unique fonction dérivable sur $\mathbb {R}$ vérifiant les conditions données.

Puis vérifier que la solution convient dans chaque cas.

1. $f'=3f$ et $f(0)=-2$.

2. $f'={\frac {1}{2}}f$ et $f(0)=-3$

3. $2f'=f$ et $f(0)=0$

Solution

Exercice 1

On a : $f(x)=ke^{3x}$.

Recherche de k. On sait que f(0) = - 2 donc k = - 2.

Finalement : $f(x)=-2e^{3x}$.

Exercice 2

On a : $f(x)=ke^{{\frac {1}{2}}x}$.

Recherche de k. On sait que f(0) = - 3 donc k = - 3 .

Finalement :$f(x)=-3e^{{\frac {1}{2}}x}$.

Exercice 3

L'équation se réécrit : $f'={\frac {1}{2}}f$

Donc $f(x)=ke^{{\frac {1}{2}}x}$.

Recherche de k. On sait que f(0) = 0 donc k = 0 .

Finalement :$f(x)=0$.