Applications techniques des nombres complexes/Annexe/Impédance complexe

Impédance complexe

Quand on applique aux bornes d'un circuit une tension sinusoïdale u de pulsation $\omega$, un courant d'intensité sinusoïdale i, de même pulsation $\omega$, parcourt ce circuit.

Alors :

$u(t)=U{\sqrt {2}}cos(\omega t)$ et $i(t)=I{\sqrt {2}}cos(\omega t-\phi )$.

On associe à i et u deux nombres complexes ${\underline {I}}$ et ${\underline {U}}$ :

${\underline {I}}=[I,-\phi ]$ et ${\underline {U}}=[U,0]$

Définition

L'impédance complexe du circuit est le nombre complexe :

• ${\underline {Z}}={\frac {\underline {U}}{\underline {I}}}$.

• L'impédance du circuit est le module $\left|{\underline {Z}}\right|$ de l'impédance complexe.

Exemples : Les impédances complexes de trois circuits simples

• Résistance pure : ${\underline {Z}}=R$

• Inductance pure (bobine) : ${\underline {Z}}=jL\omega$

• Condensateur : ${\underline {Z}}=-{\frac {j}{C\omega }}$

Début d’un théorème

Théorème

En courant sinusoïdal, dans un circuit en série ou en parallèle,

la loi d'association des impédances complexes est la même que celle des résistances, en courant continu.

Fin du théorème

Association en série

Début d’un théorème

Théorème

Deux impédances en série s'additionnent :

${\underline {Z}}={\underline {Z_{1}}}+{\underline {Z_{2}}}$

Fin du théorème

Association en parallèle

Début d’un théorème

Théorème

Pour deux impédances en parallèle, on additionne leurs inverses et on obtient l'inverse de l'impédance équivalente :

${\frac {1}{\underline {Z}}}={\frac {1}{\underline {Z_{1}}}}+{\frac {1}{\underline {Z_{2}}}}$

Fin du théorème

Exercices

Circuit RLC en série

Calculer l'impédance complexe du dipôle suivant avec :

$R=2\Omega$ ; $L\omega =3\Omega$ et ${\frac {1}{C\omega }}=1\Omega$

Circuit RLC en parallèle

Calculer l'impédance complexe du dipôle suivant avec

$R=6\Omega$ ; $L\omega =2\Omega$ et ${\frac {1}{C\omega }}=3\Omega$

Solution

Zc = 2F et Zr = R = 47 Ohm

 

Autre Circuit RLC

Calculer l'impédance complexe du dipôle suivant avec

$R=10\Omega$ ; $L\omega =200\Omega$ et ${\frac {1}{C\omega }}=120\Omega$

Autre Circuit RLC

Calculer l'impédance complexe du dipôle suivant avec

$R=15\Omega$ ; $L\omega =200\Omega$ et ${\frac {1}{C\omega }}=120\Omega$