Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et exponentielles

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction exponentielle. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Méthode

Pour trouver une primitive d'une fonction contenant une exponentielle, on commence par la méthode suivante, qui consiste à reconnaître une forme dérivée à une constante multiplicative près.

Début d’un théorème

Théorème

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors e^u est dérivable sur I et :

$(e^{u})'=u'\times e^{u}$

Fin du théorème

Exercice 1

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f:x\mapsto e^{2x+1}$

Ici, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots$ et $u'(x)=\cdots$

Donc une primitive de f sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto \cdots$

Solution

2x+1 et x Ici, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=2x+1$ et $u'(x)=2$

Donc une primitive de f sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto {\frac {1}{2}}e^{2x+1}$

 

Exercice 2

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f:x\mapsto x\times e^{x^{2}+1}$

Ici, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots$ et $u'(x)=\cdots$

Donc une primitive de f sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto \cdots$

Solution

$F:x\mapsto {\frac {1}{2}}e^{x^{2}+1}$

 

Exercice 3

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f:x\mapsto 3e^{-4x+1}$

Ici, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots$ et $u'(x)=\cdots$

Donc une primitive de f sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto \cdots$

Solution

$F:x\mapsto -{\frac {3}{4}}e^{-4x+1}$

 

Exercice 4

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f:x\mapsto 5x^{2}e^{2x^{3}+1}$

Ici, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots$ et $u'(x)=\cdots$

Donc une primitive de f sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto \cdots$

Solution

$F:x\mapsto {\frac {5}{6}}e^{2x^{3}+1}$

 

Exercice 5

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f:x\mapsto 5\sin(x)\times e^{\cos(x)+3}$

Ici, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots$ et $u'(x)=\cdots$

Donc une primitive de f sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto \cdots$

Solution

$F:x\mapsto -5e^{\cos(x)+3}$

 

Exercice 6

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f:x\mapsto 5e^{x+3}+x-1$

Ici, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots$ et $u'(x)=\cdots$

Donc une primitive de f sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto \cdots$

Solution

$F:x\mapsto 5e^{x+3}+{\frac {x^{2}}{2}}-x$