Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et fonctions puissances

**Primitives et fonctions puissances**
Leçon : Initiation au calcul intégral

Exercices n^o1

Exercices de niveau 13.
Exo préc. :	Sommaire
Exo suiv. :	Primitive prenant une valeur donnée en un point

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Primitives et fonctions puissances
Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et fonctions puissances », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Fonctions de la forme u’ × uⁿ

Exercice 1

On cherche une primitive sur $\mathbb {R}$ de la fonction $f(x)=(x+5)^{2}$

a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme

u^{n}~:~\cdots

b. À titre d'exemple, dériver la fonction

G(x)=(x+5)^{3}

$G'(x)=\cdots$

c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.

d. En déduire une primitive F de f sur

\mathbb {R}

:

$F(x)=\cdots$

e. Vérification :

F'(x)=\cdots =f(x)

Solution

a. $(u^{n})'=n~u'~u^{n-1}$

b. Ici :

u(x)=x+5
u'(x)=1
n=3

$G'(x)=3(x+5)^{2}$

c. $f(x)={\frac {G'(x)}{3}}$

d. Une primitive F de f sur $\mathbb {R}$ est alors $F(x)={\frac {G(x)}{3}}={\frac {(x+5)^{3}}{3}}$

e. ${\begin{aligned}F'(x)&={\frac {1}{3}}~G'(x)\\&={\frac {1}{3}}~3(x+5)^{2}\\&=(x+5)^{2}\\&=f(x)\end{aligned}}$

Donc $F:x\mapsto {\frac {(x+5)^{3}}{3}}$ est bien une primitive de f.

Exercice 2

De même avec $f(x)=(3x-2)^{3}$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)=(3x-2)^{\cdots }$

$G'(x)=\cdots$
$f(x)=\cdots$
$F(x)=\cdots$
Vérification : $F'(x)=\cdots$

Solution

Comme lorsqu'on dérive, l'exposant est diminué de 1, il faut poser la fonction $G(x)=~(3x-2)^{4}$
On pose $u:x\mapsto 3x-2$ . Sa dérivée est $u':x\mapsto 3$
On a alors $G(x)=u(x)^{4}$
On calcule la dérivée de G avec la formule $(u^{n})'=n~u'u^{n-1}$ (avec n=4) : $G'(x)=4\times 3\times (3x-2)^{3}=12~(3x-2)^{3}$
On exprime f en fonction de G' : $f(x)={\frac {G'(x)}{12}}$
On pose F une fonction dont on attend qu'elle soit une primitive de f : $F(x)={\frac {G(x)}{12}}$
On vérifie que F est une primitive de f, c'est-à-dire on vérifie que F'=f :

${\begin{aligned}F'(x)&={\frac {1}{12}}G'(x)\\&={\frac {1}{12}}~12~(3x-2)^{3}\\&=(3x-2)^{3}\\&=f(x)\end{aligned}}$

Donc $F:x\mapsto {\frac {(3x-2)^{4}}{12}}$ est une primitive de f

Exercice 3

De même avec $f(x)=x(x^{2}-4)^{2}$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)=\cdots$

$G'(x)=\cdots$
$f(x)=\cdots$
$F(x)=\cdots$
Vérification : ...

Solution

On cherche à utilier la formule $(u^{n})'=n~u'u^{n-1}$ $(u^{n})'=n~u'u^{n-1}$ . On essaye alors de poser :
- n=3 (car l'exposant va diminuer de 1 en dérivant et on veut un 2)
- $u(x)=x^{2}-4$
- $G(x)=u(x)^{n}=(x^{2}-4)^{3}$
On dérive u : $u'(x)=2x$
La dérivée de G est alors $G'(x)=3~(2x)~(x^{2}-4)^{2}=6~x(x^{2}-4)^{2}$
On relie f à G' en remarquant que $G'(x)=6~f(x)$
On pose F une fonction dont on attend qu'elle soit une primitive de f : $F(x)={\frac {G(x)}{6}}$
On vérifie que F est une primitive de f, c'est-à-dire on vérifie que F'=f :

${\begin{aligned}F'(x)&={\frac {1}{6}}G'(x)\\&={\frac {1}{6}}~6~x(x^{2}-4)^{2}\\&=x(x^{2}-4)^{2}\\&=f(x)\end{aligned}}$

Donc $F:x\mapsto {\frac {(x^{2}-4)^{3}}{6}}$ est une primitive de f

Fonctions de la forme ${\frac {u'}{u^{n}}}$

Exercice 1

On cherche une primitive sur $]-5;+\infty [$ de la fonction $f(x)={\frac {3}{(x+5)^{2}}}$

a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme

{\frac {1}{u^{n}}}:\cdots

b. À titre d'exemple, dériver la fonction

G(x)={\frac {1}{x+5}}

$G'(x)=\cdots$

c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.

$f(x)=\cdots$

d. En déduire une primitive F de f sur

\mathbb {R}

:

$F(x)=\cdots$

e. Vérification :

F'(x)=\cdots

Solution

a. Cette question est un peu piégeuse :

si n = 0, il s'agit d'une constante, dont la dérivée est nulle ;
sinon, on utilise la dérivée d'un quotient :

$\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}$

adapté au cas qui nous concerne, la dérivée recherchée est :

$-{\frac {nu^{n-1}u'}{u^{2n}}}=-nu'u^{n-1-2n}=-nu'u^{-\left(n+1\right)}$

Remarque : on aurait pu la retrouver à partir de la formule donnant la dérivée de uⁿ.

b. On a simplement : $G'\left(x\right)={\frac {-1}{\left(x+5\right)^{2}}}$

c. D'après les questions précédentes :

$f(x)={\frac {3}{(x+5)^{2}}}=-d$

Il est immédiat qu'une primitive de ƒ est -3G. En effet :

$\left(-3G\right)'(x)=-3G'(x)=f(x)$

e.

Exercice 2

De même sur $\left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[$ avec $f(x)={\frac {5}{(3x-2)^{3}}}$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)={\frac {1}{(3x-2)^{\cdots }}}$

$G'(x)=\cdots$
$f(x)=\cdots$
$F(x)=\cdots$

Solution

Dans cette configuration, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout $x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~G(x)={\frac {1}{(3x-2)^{2}}}$ .
On dérive alors G :
- pour tout $x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~u(x)=3x-2~{\textrm {et}}~G(x)={\frac {1}{u(x)}}$
- pour tout $x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~u'(x)=3$
- n=2
- pour tout $x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~G'(x)=-{\frac {n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}}=-{\frac {6}{(3x-2)^{3}}}$
On relie G' à f par pour tout $x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~-{\frac {5}{6}}G'(x)=f(x)$

Une primitive F de f est alors définie par pour tout $x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~F(x)=-{\frac {5}{6}}G(x)=-{\frac {5}{6(3x-2)^{2}}}$

Vérification : $F'(x)=\cdots$

Exercice 3

De même sur $]1;+\infty [$ avec $f(x)={\frac {x^{2}}{(5x^{3}-4)^{4}}}$ en faisant apparaître la dérivée de G(x)=...

$G'(x)=\ldots$
$f(x)=\ldots$
$F(x)=\ldots$
Vérification : ...

Solution

Là encore, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout $x\in ]1;+\infty [,~G(x)={\frac {1}{(5x^{3}-4)^{3}}}$ .
On dérive G :
- pour tout $x\in ]1;+\infty [,~u(x)=5x^{3}-4~{\textrm {et}}~G(x)={\frac {1}{u(x)}}$
- pour tout $x\in ]1;+\infty [,~u'(x)=5\times 3x^{2}=15x^{2}$
- n=3
- pour tout $x\in ]1;+\infty [,~G'(x)=-{\frac {n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}}=-{\frac {45x^{2}}{(5x^{3}-4)^{4}}}$
On relie G' à f par pour tout $x\in ]1;+\infty [,~-{\frac {1}{45}}G'(x)=f(x)$