Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Problèmes concrets d'optimisation (1)

Exercice 10-1

On considère une plaque de carton de forme carrée, et de côté a. On découpe dans chaque coin un carré de côté x, dans le but de confectionner une boîte parallélépipédique sans couvercle.

1°  a) Déterminer le volume de cette boîte.

b) Pour quelle valeur de x, exprimé en fonction de a, le volume de la boîte est-il maximum ?

2°  Reprendre le 1° en partant d'une plaque rectangulaire de côté b et c.

Solution

1°

a) Le fond de la boîte a un côté de longueur a - 2x. La hauteur de la boite est x. Le volume de la boîte sera donc :

$x(a-2x)^{2}$

avec x qui peut varier de 0 à a/2.

b) Posons :

$f(x)=x(a-2x)^{2}$

et étudions sommairement cette fonction sur [0, a/2] pour en déterminer le maximum.

$f'(x)=1\times (a-2x)^{2}+x\times 2(-2)(a-2x)=(a-2x)^{2}-4x(a-2x)=(a-2x)[(a-2x)-4x]=(a-2x)(a-6x)$.

Faisons un tableau de signes en ajoutant une ligne pour visualiser les variations de f :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&{\frac {a}{6}}&&{\frac {a}{2}}\\\hline (a-6x)&&+&0&-&-\\\hline (a-2x)&&+&&+&0\\\hline f'(x)&&+&0&-&0\\\hline f&0&\nearrow &{\frac {2a^{3}}{27}}&\searrow &0\\\hline \end{array}}$

et nous voyons que le volume maximum de la boite est obtenu pour :

$x={\frac {a}{6}}$.

2°

a) Si l'on suppose que b > c, le fond de la boîte a pour longueur b - 2x et pour largeur c - 2x. La hauteur de la boite est x. Le volume de la boîte sera donc :

$x(b-2x)(c-2x)$

avec x qui peut varier de 0 à c/2 (puisque c < b).

b) Posons :

$f(x)=x(b-2x)(c-2x)$

et étudions sommairement cette fonction sur [0; c/2] pour en déterminer le maximum.

$f'(x)=(b-2x)(c-2x)-2x(c-2x)-2x(b-2x)=bc-2bx-2cx+4x^{2}-2cx+4x^{2}-2bx+4x^{2}=bc-4bx-4cx+12x^{2}=12x^{2}-4(b+c)x+bc$

Il nous faut étudier le signe de la dérivée qui se présente sous forme de trinôme du second degré.

Le discriminant est :

$\Delta =16(b+c)^{2}-4\times 12bc=16(b^{2}-bc+c^{2})$.

Il est positif car :

$b^{2}-bc+c^{2}>b^{2}-2bc+c^{2}=(b-c)^{2}$.

Les racines de la dérivée sont donc :

${\begin{cases}x_{1}={\frac {4(b+c)-4{\sqrt {b^{2}-bc+c^{2}}}}{24}}={\frac {b+c-{\sqrt {b^{2}-bc+c^{2}}}}{6}}\\x_{2}={\frac {4(b+c)+4{\sqrt {b^{2}-bc+c^{2}}}}{24}}={\frac {b+c+{\sqrt {b^{2}-bc+c^{2}}}}{6}}.\end{cases}}$

La dérivée est positive en dehors des racines et négative à l'intérieur des racines. Nous devons étudier f sur l'intervalle [0; c/2]. Nous devons donc positionner les racines par rapport à 0 et c/2.

Nous avons de façon évidente :

$x_{2}>0$.

Pour x₁, nous partirons de l'inégalité évidente 2bc > -bc ; nous avons :

${\begin{aligned}2bc>-bc&\Rightarrow b^{2}+2bc+c^{2}>b^{2}-bc+c^{2}\\&\Rightarrow (b+c)^{2}>b^{2}-bc+c^{2}\\&\Rightarrow b+c>{\sqrt {b^{2}-bc+c^{2}}}\\&\Rightarrow b+c-{\sqrt {b^{2}-bc+c^{2}}}>0\\&\Rightarrow {\frac {b+c-{\sqrt {b^{2}-bc+c^{2}}}}{6}}>0\\&=x_{1}>0.\end{aligned}}$

Certain pourraient se dire : Comment savait-on qu'il fallait partir de 2bc > -bc ? La réponse est simple : Au brouillon on part de ce que l'on veut démontrer, à savoir x1 > 0, on simplifie les calculs, on voit que l'on tombe sur 2bc > -bc. Au propre, on recopie les calculs à l'envers et le tour est joué !

Il nous faut maintenant positionner x₁ et x₂ par rapport à c/2.

Nous avons supposé que b était la mesure de la longueur et c, la mesure de la largeur. Nous avons donc c < b.

Nous avons donc d'une part :

${\begin{aligned}c<b&\Rightarrow 3c^{2}<3bc\\&\Rightarrow b^{2}-4bc+4c^{2}<b^{2}-bc+c^{2}\\&\Rightarrow (b-2c)^{2}<b^{2}-bc+c^{2}\\&\Rightarrow b-2c<{\sqrt {b^{2}-bc+c^{2}}}\\&\Rightarrow b+c-{\sqrt {b^{2}-bc+c^{2}}}<3c\\&\Rightarrow {\frac {b+c-{\sqrt {b^{2}-bc+c^{2}}}}{6}}<{\frac {c}{2}}\\&\Rightarrow x_{1}<{\frac {c}{2}}\end{aligned}}$

et nous avons d'autre part :

${\begin{aligned}c<b&\Rightarrow 3c^{2}<3bc\\&\Rightarrow 4c^{2}-4bc+b^{2}<b^{2}-bc+c^{2}\\&\Rightarrow (2c-b)^{2}<b^{2}-bc+c^{2}\\&\Rightarrow 2c-b<{\sqrt {b^{2}-bc+c^{2}}}\\&\Rightarrow 3c<b+c+{\sqrt {b^{2}-bc+c^{2}}}\\&\Rightarrow {\frac {c}{2}}<{\frac {b+c+{\sqrt {b^{2}-bc+c^{2}}}}{6}}\\&\Rightarrow {\frac {c}{2}}<x_{2}.\end{aligned}}$

Si l'on résume, on a trouvé que :

$0<x_{1}<{\frac {c}{2}}<x_{2}$.

Comme il n'y a que ce qui se trouve entre 0 et c/2 qui nous intéresse, nous ferons le tableau suivant :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&x_{1}&&{\frac {c}{2}}\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline f&0&\nearrow &f(x_{1})&\searrow &0\\\hline \end{array}}$

et nous voyons que le volume maximum de la boîte est obtenu pour :

$x={\frac {b+c-{\sqrt {b^{2}-bc+c^{2}}}}{6}}$.

 

Exercice 10-2

Une entreprise veut déterminer les dimensions d'une boîte en forme de parallélépipède à base carrée, de façon que cette boite revienne à un coût minimum, sachant que le volume doit être de 320 cm³ et que la matière première utilisée revient à 0,5 centime le cm² pour le fond carré, à 1,5 centime le cm² pour le couvercle, et à 1 centime le cm² pour la surface latérale. Calculer les dimensions de la boite.

Solution

Soit x le côté du carré formant la base de la boite. Soit h la hauteur de la boîte.

Le volume de la boîte est donné par :

$x^{2}\times h=320$

d'où l'on déduit :

$h={\frac {320}{x^{2}}}$.

Soit f la fonction donnant le coût de la boîte. Comme il y a une base d'aire x², quatre surfaces latérales d'aire hx. Un couvercle d'aire x², la fonction f s'écrit :

$f(x)=x^{2}\times 0,5+4hx\times 1+x^{2}\times 1,5=0,5x^{2}+4\times {\frac {320}{x^{2}}}\times x+1,5x^{2}=2x^{2}+{\frac {1280}{x}}$.

Nous devons donc trouver le minimum de la fonction :

$f(x)=2x^{2}+{\frac {1280}{x}}$.

La dérivée de f est :

$f'(x)=4x-{\frac {1280}{x^{2}}}={\frac {4x^{3}-1280}{x^{2}}}={\frac {4(x^{3}-320)}{x^{2}}}={\frac {4(x-4{\sqrt[{3}]{5}})(x^{2}+4x{\sqrt[{3}]{5}}+16{\sqrt[{3}]{25}})}{x^{2}}}$.

Remarque : Pour ceux qui ont du mal à suivre, nous signalons que nous avons utilisé l'identité remarquable : $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ avec : ${\begin{cases}a=x\\b=4{\sqrt[{3}]{5}}.\end{cases}}$

Le trinôme du second degré :

$x^{2}+4x{\sqrt[{3}]{5}}+16{\sqrt[{3}]{25}}$

a un discriminant négatif, donc cette expression est positive pour tout x.

Le signe de la dérivée dépend donc entièrement de :

$x-4{\sqrt[{3}]{5}}$.

Faisons notre petit tableau :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&4{\sqrt[{3}]{5}}&&+\infty \\\hline f'(x)&&-&0&+&\\\hline f&&\searrow &f\left(4{\sqrt[{3}]{5}}\right)&\nearrow &\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que le coût minimal de la boîte sera obtenu pour une base ayant un côté de $4{\sqrt[{3}]{5}}\simeq 6,84$ cm et une hauteur h donnée par :

$h={\frac {320}{(4{\sqrt[{3}]{5}})^{2}}}=4{\sqrt[{3}]{5}}\simeq 6,84$ cm.

 

Exercice 10-3

Une boîte parallélépipédique à base carrée, d'un volume de 64 dm³, est construite dans une matière qui revient à 3 centimes le cm² pour le fond et le couvercle, et à 2 centimes le cm² pour la surface latérale. Quelles doivent être les dimensions de cette boîte pour que son coût soit minimum ?

Solution

Soit x le côté du carré formant la base de la boite. Soit h la hauteur de la boîte.

Sachant que 64 dm³ correspondent à 64 000 cm³, le volume de la boîte est donné par :

$x^{2}\times h=64000$

d'où l'on déduit :

$h={\frac {64000}{x^{2}}}$.

Soit f la fonction donnant le coût de la boîte. Comme il y a une base d'aire x², quatre surfaces latérales d'aire hx et un couvercle d'aire x², la fonction f s'écrit :

$f(x)=x^{2}\times 3+4hx\times 2+x^{2}\times 3=3x^{2}+4\times 2{\frac {64000}{x^{2}}}\times x+3x^{2}=6x^{2}+{\frac {512000}{x}}$.

Nous devons donc trouver le minimum de la fonction :

$f(x)=6x^{2}+{\frac {512000}{x}}$.

La dérivée de f est :

$f'(x)=12x-{\frac {512000}{x^{2}}}={\frac {12x^{3}-512000}{x^{2}}}={\frac {4(3x^{3}-128000)}{x^{2}}}$.

Le dénominateur est évidemment positif. Le numérateur est une fonction strictement croissante qui s'annule pour :

$x={\sqrt[{3}]{\frac {128000}{3}}}=40{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3}}}$.

Faisons notre petit tableau :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&40{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3}}}&&+\infty \\\hline f'(x)&&-&0&+&\\\hline f&&\searrow &f\left(40{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3}}}\right)&\nearrow &\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que le coût minimal de la boîte sera obtenu pour une base ayant un côté de $40{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3}}}\simeq 34,9$ cm et une hauteur h donnée par :

$h={\frac {64000}{(40{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3}}})^{2}}}=20{\sqrt[{3}]{18}}\simeq 52,4$ cm.

 

Exercice 10-4

Quelles doivent être les dimensions d'une boîte cylindrique de 1,6 dm³ pour que son coût soit minimum ?

Solution

1,6 dm³ correspond à 1 600 cm³.

Soit x le rayon de la base de la boite. Soit h la hauteur de la boîte.

Le volume de la boîte est donné par :

$\pi x^{2}\times h=1600$

d'où l'on déduit :

$h={\frac {1600}{\pi x^{2}}}$.

Soit f la fonction donnant la surface de la boîte. Comme il y a une base d'aire πx², une surfaces latérales d'aire 2πhx. Un couvercle d'aire πx², la fonction f s'écrit :

$f(x)=\pi x^{2}+2\pi hx+\pi x^{2}=2\pi x^{2}+2\pi {\frac {1600}{\pi x^{2}}}x=2\pi x^{2}+{\frac {3200}{x}}$.

Nous devons donc trouver le minimum de la fonction :

$f(x)=2\pi x^{2}+{\frac {3200}{x}}$.

La dérivée de f est :

$f'(x)=4\pi x-{\frac {3200}{x^{2}}}={\frac {4\pi x^{3}-3200}{x^{2}}}={\frac {4(\pi x^{3}-800)}{x^{2}}}$.

Le dénominateur est évidemment positif. Le numérateur est une fonction strictement croissante qui s'annule pour :

$x={\sqrt[{3}]{\frac {800}{\pi }}}=2{\sqrt[{3}]{\frac {100}{\pi }}}$.

Faisons notre petit tableau :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&2{\sqrt[{3}]{\frac {100}{\pi }}}&&+\infty \\\hline f'(x)&&-&0&+&\\\hline f&&\searrow &f\left(2{\sqrt[{3}]{\frac {100}{\pi }}}\right)&\nearrow &\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que la surface minimale de la boîte sera obtenue pour une base ayant un rayon de $2{\sqrt[{3}]{\frac {100}{\pi }}}\simeq 6,34$ cm et une hauteur h donnée par :

$h={\frac {1600}{\pi \left(2{\sqrt[{3}]{\frac {100}{\pi }}}\right)^{2}}}=4{\sqrt[{3}]{\frac {100}{\pi }}}\simeq 12,68$ cm.

 

Exercice 10-5

On veut enclore, le long d'une rivière, avec 1000 mètres de clôture, un champ rectangulaire d'aire maximum (aucune clôture n'est nécessaire le long de la rivière). Quelles sont les dimensions du champ obtenu, et quelle est alors son aire ?

Solution

Soit x la largeur du champ et y la longueur du champ.

Soit f(x), l'aire du champ.

Les conditions données par l'énoncé se traduisent par :

${\begin{cases}2x+y=1000\\xy=f(x).\end{cases}}$

Système équivalent à :

${\begin{cases}y=2(500-x)\\2x(500-x)=f(x).\end{cases}}$

Nous devons donc trouver pour quelle valeur de x, la fonction :

$f(x)=2x(500-x)=1000x-2x^{2}$

est maximale.

Sa dérivée est donnée par :

$f'(x)=1000-4x=4(250-x)$.

Le tableau de variation est donc :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&250&&+\infty \\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline f&&\nearrow &125000&\searrow &\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que le maximum est obtenu pour x = 250. Le champ, au bord d'une rivière, d'aire maximale que l'on peut clôturer avec 1000 mètres de clôture aura une largeur de 250 mètres et une longueur de 500 mètres.