1°
a) Le fond de la boîte a un côté de longueur a - 2x. La hauteur de la boite est x. Le volume de la boîte sera donc :
avec x qui peut varier de 0 à a/2.
b) Posons :
et étudions sommairement cette fonction sur [0, a/2] pour en déterminer le maximum.
.
Faisons un tableau de signes en ajoutant une ligne pour visualiser les variations de f :
et nous voyons que le volume maximum de la boite est obtenu pour :
.
2°
a) Si l'on suppose que b > c, le fond de la boîte a pour longueur b - 2x et pour largeur c - 2x. La hauteur de la boite est x. Le volume de la boîte sera donc :
avec x qui peut varier de 0 à c/2 (puisque c < b).
b) Posons :
et étudions sommairement cette fonction sur [0; c/2] pour en déterminer le maximum.
Il nous faut étudier le signe de la dérivée qui se présente sous forme de trinôme du second degré.
Le discriminant est :
.
Il est positif car :
.
Les racines de la dérivée sont donc :
La dérivée est positive en dehors des racines et négative à l'intérieur des racines. Nous devons étudier f sur l'intervalle [0; c/2]. Nous devons donc positionner les racines par rapport à 0 et c/2.
Nous avons de façon évidente :
.
Pour x1, nous partirons de l'inégalité évidente 2bc > -bc ; nous avons :
|
Certain pourraient se dire : Comment savait-on qu'il fallait partir de 2bc > -bc ? La réponse est simple : Au brouillon on part de ce que l'on veut démontrer, à savoir x1 > 0, on simplifie les calculs, on voit que l'on tombe sur 2bc > -bc. Au propre, on recopie les calculs à l'envers et le tour est joué !
|
Il nous faut maintenant positionner x1 et x2 par rapport à c/2.
Nous avons supposé que b était la mesure de la longueur et c, la mesure de la largeur. Nous avons donc c < b.
Nous avons donc d'une part :
et nous avons d'autre part :
Si l'on résume, on a trouvé que :
.
Comme il n'y a que ce qui se trouve entre 0 et c/2 qui nous intéresse, nous ferons le tableau suivant :
et nous voyons que le volume maximum de la boîte est obtenu pour :
.