Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Fonctions non rationnelles (3)

Exercice 7-1

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)={\sqrt {x^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}-1}}$

Solution

Domaine de définition

Les expressions sous les racines doivent être positives ou nulles. On doit donc avoir :

$x^{2}-1\geqslant 0$

qui se met sous la forme :

$(x-1)(x+1)\geqslant 0$

Faisons un tableau de signes :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&1&&+\infty \\&&&\\\hline x-1&&-&&-&0&+&\\\hline x+1&&-&0&+&&+&\\\hline (x-1)(x+1)&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array}}$

On en déduit :

$D_{f}=]-\infty ;\;-1]\cup [1;\;+\infty [$

Restriction du domaine d'étude

On a :

$f(-x)={\sqrt {(-x)^{2}+1}}-{\sqrt {(-x)^{2}-1}}={\sqrt {x^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}-1}}=f(x)$

La fonction est donc paire et, par conséquent, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Nous étudierons donc f seulement pour les valeurs positives de x et, pour les valeurs négatives de x, nous en déduirons les propriétés de f et son tracé par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)=\lim _{x\to 1^{+}}{\sqrt {x^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}-1}}={\sqrt {2}}$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {x^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}-1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {({\sqrt {x^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}-1}})({\sqrt {x^{2}+1}}+{\sqrt {x^{2}-1}})}{{\sqrt {x^{2}+1}}+{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {(x^{2}+1)-(x^{2}-1)}{{\sqrt {x^{2}+1}}+{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{{\sqrt {x^{2}+1}}+{\sqrt {x^{2}-1}}}}=0$

Calcul de la dérivée

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}-{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&={\frac {x{\sqrt {x^{2}-1}}-x{\sqrt {x^{2}+1}}}{{\sqrt {x^{2}+1}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&={\frac {x({\sqrt {x^{2}-1}}-{\sqrt {x^{2}+1}})({\sqrt {x^{2}-1}}+{\sqrt {x^{2}+1}})}{{\sqrt {x^{2}+1}}{\sqrt {x^{2}-1}}({\sqrt {x^{2}-1}}+{\sqrt {x^{2}+1}})}}\\&={\frac {x[(x^{2}-1)-(x^{2}+1)]}{{\sqrt {x^{2}+1}}{\sqrt {x^{2}-1}}({\sqrt {x^{2}-1}}+{\sqrt {x^{2}+1}})}}\\&={\frac {-2x}{{\sqrt {x^{2}+1}}{\sqrt {x^{2}-1}}({\sqrt {x^{2}-1}}+{\sqrt {x^{2}+1}})}}\end{aligned}}$

Tableau de variations

Étude des asymptotes

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=0$

nous montre que nous avons une asymptote horizontale d'équation $y=0$. Autrement dit, l'axe des abscisses est asymptote à la courbe.

Études particulières pour préciser le tracé

Nous avons :

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)={\sqrt {2}}$

Nous étudierons donc la demie-tangente en x = 1.

Calculons donc le coefficient directeur de la demie-tangente en x = 1 qui est donné par la dérivée à droite :

$\lim _{x\to 1^{+}}f'(x)=\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {-2x}{{\sqrt {x^{2}+1}}{\sqrt {x^{2}-1}}({\sqrt {x^{2}-1}}+{\sqrt {x^{2}+1}})}}={\frac {-2}{{\sqrt {2}}\times 0^{+}(0^{+}+{\sqrt {2}})}}=-\infty$

Nous avons donc une demie-tangente verticale en x = 1.

Tracé de la courbe

 

Exercice 7-2

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)={\frac {x^{2}-5}{\sqrt {x^{4}-x^{2}}}}$

Solution

Domaine de définition

Les expressions sous les racines doivent être positives ou nulles. On doit donc avoir :

$x^{4}-x^{2}\geqslant 0$

qui se met sous la forme :

$x^{2}(x-1)(x+1)\geqslant 0$

Faisons un tableau de signes :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&0&&1&&+\infty \\&&&\\\hline x^{2}&&+&&+&0&+&&+&\\\hline x-1&&-&&-&0&-&0&+&\\\hline x+1&&-&0&+&0&+&&+&\\\hline (x-1)(x+1)&&+&0&-&0&-&0&+&\\\hline \end{array}}$

Comme, de plus, les dénominateurs ne doivent pas être nuls, on en déduit :

$D_{f}=]-\infty ;\;-1]\cup [1;\;+\infty [$

Restriction du domaine d'étude

On a :

$f(-x)={\frac {(-x)^{2}-5}{\sqrt {(-x)^{4}-(-x)^{2}}}}={\frac {x^{2}-5}{\sqrt {x^{4}-x^{2}}}}=f(x)$

La fonction est donc paire et, par conséquent, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Nous étudierons donc f seulement pour les valeurs positives de x et, pour les valeurs négatives de x, nous en déduirons les propriétés de f et son tracé par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)=\lim _{x\to 1^{+}}{\frac {x^{2}-5}{\sqrt {x^{4}-x^{2}}}}={\frac {-4}{0^{+}}}=-\infty$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}-5}{\sqrt {x^{4}-x^{2}}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1-{\frac {5}{x^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}=1$

Calcul de la dérivée

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {2x{\sqrt {x^{4}-x^{2}}}-(x^{2}-5){\frac {4x^{3}-2x}{2{\sqrt {x^{4}-x^{2}}}}}}{({\sqrt {x^{4}-x^{2}}})^{2}}}={\frac {{\frac {2x(x^{4}-x^{2})}{\sqrt {x^{4}-x^{2}}}}-(x^{2}-5){\frac {2x^{3}-x}{\sqrt {x^{4}-x^{2}}}}}{x^{4}-x^{2}}}\\&={\frac {2x(x^{4}-x^{2})-(x^{2}-5)(2x^{3}-x)}{(x^{4}-x^{2}){\sqrt {x^{4}-x^{2}}}}}={\frac {2x^{5}-2x^{3}-2x^{5}+x^{3}+10x^{3}-5x}{x^{2}(x^{2}-1){\sqrt {x^{4}-x^{2}}}}}\\&={\frac {9x^{3}-5x}{x^{2}(x^{2}-1){\sqrt {x^{4}-x^{2}}}}}={\frac {9x^{2}-5}{x(x^{2}-1){\sqrt {x^{4}-x^{2}}}}}\\&={\frac {(3x-{\sqrt {5}})(3x+{\sqrt {5}})}{x(x-1)(x+1){\sqrt {x^{4}-x^{2}}}}}\end{aligned}}$

Où l'on voit que tous les facteurs sont positifs pour x supérieur à 1.

Tableau de variations

Étude des asymptotes

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$

nous montre que nous avons une asymptote verticale d'équation x = 1.

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=1$

nous montre que nous avons une asymptote horizontale d'équation y = 1.

Tracé de la courbe

 

Exercice 7-3

Étudiez et tracez la fonction suivante :

$f(x)={\frac {{\sqrt {x}}(x+1)}{(x-1)^{2}}}$

Solution

Domaine de définition

Les expressions sous les racines doivent être positives ou nulles. On doit donc avoir :

$x\geqslant 0$

Les dénominateurs ne doivent pas être nuls :

$(x-1)^{2}\neq 0$

Il résulte de ces deux conditions que :

$D_{f}=[0;\;1[\cup ]1;\;+\infty [$

Limites aux bornes du domaine de définition

$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {{\sqrt {x}}(x+1)}{(x-1)^{2}}}=0$

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {{\sqrt {x}}(x+1)}{(x-1)^{2}}}={\frac {2}{0^{+}}}=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)=\lim _{x\to 1^{+}}{\frac {{\sqrt {x}}(x+1)}{(x-1)^{2}}}={\frac {2}{0^{+}}}=+\infty$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {{\sqrt {x}}(x+1)}{(x-1)^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x{\sqrt {x}}}{x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{\sqrt {x}}}=0$

Calcul de la dérivée

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {\left({\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}(x+1)+{\sqrt {x}}\right)(x-1)^{2}-2(x-1){\sqrt {x}}(x+1)}{(x-1)^{4}}}={\frac {\left({\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}(x+1)+{\sqrt {x}}\right)(x-1)-2{\sqrt {x}}(x+1)}{(x-1)^{3}}}\\&={\frac {(x+1+2x)(x-1)-4x(x+1)}{2{\sqrt {x}}(x-1)^{3}}}={\frac {-x^{2}-6x-1}{2{\sqrt {x}}(x-1)^{3}}}\\&={\frac {-(x^{2}+6x+1)}{2{\sqrt {x}}(x-1)^{3}}}\end{aligned}}$

Pour x positif, le numérateur est visiblement négatif. le signe de la dérivée est donc l'opposé du signe de (x - 1) se trouvant au dénominateur.

Tableau de variations

Étude des asymptotes

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$

nous montre que nous avons une asymptote verticale d'équation x = 1.

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=0$

nous montre que nous avons une asymptote horizontale d'équation y = 0. Autrement dit, l'axe des abscisses est asymptote à la courbe.

Études particulières pour préciser le tracé

Nous avons :

$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=0$

Nous étudierons donc la demie-tangente en x = 0.

Calculons donc le coefficient directeur de la demie-tangente en x = 0 qui est donné par la dérivée à droite :

$\lim _{x\to 0^{+}}f'(x)=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {-(x^{2}+6x+1)}{2{\sqrt {x}}(x-1)^{3}}}={\frac {-1}{2\times 0^{+}\times (-1)^{3}}}={\frac {-1}{0^{-}}}=+\infty$

Nous avons donc une demie-tangente verticale en x = 0. La courbe démarre donc tangentiellement à l'axe des ordonnées.

(Pour les plus courageux, vous pouvez aussi vérifier, à titre d'exercice, que l'on a un point d'inflexion d'abscisse $x\simeq 0,066$. Voir l'exercice 9-2).

Tracé de la courbe