Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Fonctions non rationnelles (2)
Exercice 6-1
[modifier | modifier le wikicode]Étudiez et tracez la fonction suivante :
Domaine de définition
Les expressions sous les racines doivent être positives ou nulles. On doit donc avoir :
De plus les dénominateurs ne doivent pas être nuls :
Faisons un tableau de signes :
On en déduit :
Limites aux bornes du domaine de définition
Calcul de la dérivée
Nous voyons que la dérivée n'est pas définie pour x = -1 qui appartenait au domaine de définition de f. Le domaine de dérivabilité sera donc :
Il n'y a qu'une valeur qui annule la dérivée sur son domaine de dérivabilité, c'est :
Tableau de variations
avec :
Étude des asymptotes
nous montre que nous avons une asymptote verticale d'équation x = 1.
Recherchons une asymptote oblique d'équation y = ax + b :
Nous avons donc une équation oblique d'équation y = x + 1.
Études particulières pour préciser le tracé
Nous avons vu que nous avons :
Nous calculerons donc la demi-tangente en x = -1.
Le coefficient directeur est donné par la dérivée à gauche en -1, soit :
Nous avons donc une demi-tangente verticale en x = -1.
Tracé de la courbe
Exercice 6-2
[modifier | modifier le wikicode]Étudiez et tracez la fonction suivante :
Domaine de définition
Les expressions sous les racines doivent être positives ou nulles. On doit donc avoir :
qui se met sous la forme :
Faisons un tableau de signes :
De plus les dénominateurs ne doivent pas être nuls :
On en déduit :
Limites aux bornes du domaine de définition
Calcul de la dérivée
Nous voyons que la dérivée n'est pas définie pour x = 1 et x = 2 qui appartenait au domaine de définition de f. Le domaine de dérivabilité sera donc :
Tableau de variations
Étude des asymptotes
nous montre que nous avons une asymptote horizontale d'équation y = -1.
nous montre que nous avons une asymptote horizontale d'équation y = 1.
nous montre que nous avons une asymptote verticale d'équation x = -1.
Études particulières pour préciser le tracé
Nous avons vu que nous avons :
Nous calculerons donc la demi-tangente en x = 1 et en x = 2.
Le coefficient directeur de la demi-tangente en x = 1 est donné par la dérivée à gauche en 1, soit :
Nous avons donc une demi-tangente verticale en x = 1.
Le coefficient directeur de la demi-tangente en x = 2 est donné par la dérivée à droite en 2, soit :
Nous avons donc une demi-tangente verticale en x = 2.
Tracé de la courbe
Exercice 6-3
[modifier | modifier le wikicode]Étudiez et tracez la fonction suivante :
Domaine de définition
Les expressions sous les racines doivent être positives ou nulles. On doit donc avoir :
qui se met sous la forme :
Faisons un tableau de signes :
On en déduit :
Limites aux bornes du domaine de définition
Calcul de la dérivée
Le signe de la dérivée dépend de l'expression .
Pour x positif, la dérivée est clairement positive.
Pour x négatif, nous multiplierons et diviserons par l'expression conjuguée :
et l'on voit que pour x négatif, le dénominateur est négatif, donc la dérivée est négative.
Tableau de variations
Étude des asymptotes
nous montre que nous avons une asymptote horizontale d'équation y = 0.
Étudions l’existence d'une asymptote oblique côté sous la forme y = ax + b
Côté , nous avons donc une asymptote oblique d'équation y = 2x.
Études particulières pour préciser le tracé
Nous avons :
Nous étudierons donc les demi-tangentes en x = -1 et en x = 1.
Calculons donc le coefficient directeur de la demi-tangente en x = -1 qui est donné par la dérivée à gauche :
Nous avons donc une demi-tangente verticale en x = -1.
Calculons donc le coefficient directeur de la demi-tangente en x = 1 qui est donné par la dérivée à droite :
Nous avons donc une demi-tangente verticale en x = 1.
Tracé de la courbe