Étude des systèmes électriques/Condensateur et circuit RC

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Condensateur et circuit RC
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Chapitre no1
Leçon : Étude des systèmes électriques
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Symbole du condensateur dans un circuit.

Le condensateur[modifier | modifier le wikicode]

Il existe différentes formes et différents types de condensateurs. Un condensateur est un dipôle constitué de 2 lames métalliques (les armatures) séparées par un isolant (aussi appelé diélectrique).

Rôle du condensateur : il permet d'emmagasiner l'énergie et de la restituer quand il y en a besoin.

Charge d'un condensateur[modifier | modifier le wikicode]

Les charges s'accumulent sur les armatures.

Lorsqu'on applique une tension électrique aux bornes d'un condensateur, il se charge. Une fois chargé, il conserve une charge électrique sur ses armatures même lorsqu'on le débranche, qu'on le met hors tension : il se comporte comme un réservoir de charges électriques. Si on relie les deux bornes d'un condensateur chargé par un fil électrique il se décharge immédiatement ; il ne faut donc pas toucher les deux bornes d'un condensateur chargé (il y a un risque de choc électrique).

Description du fonctionnement[modifier | modifier le wikicode]

Le condensateur peut être considéré comme une pompe à électrons. À chaque fois qu'un électron arrive sur l'armature a un électron de l'armature b se dirige vers la borne positive de la pile. Si une charge négative quitte l'armature b alors il apparait sur cette armature une charge positive. À chaque instant q_a = - q_b. Petit à petit, il se crée une différence de potentiel électrique entre les armatures a et b. Quand cette différence de potentiel (appelée aussi tension électrique) est égale à celle aux bornes de la pile, le condensateur est chargé. Le courant ne circule plus dans le circuit.

Relation entre intensité et charge du condensateur[modifier | modifier le wikicode]

Définition de l'intensité[modifier | modifier le wikicode]

L'intensité du courant électrique circulant dans un condensateur est donnée par la formule suivante :

i = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta q}{\Delta t}


donc

i = \frac{dq}{dt}


[A] = \frac{[C]}{[s]}


q est la charge électrique portée par l'une des deux armatures et exprimée en coulomb (symbole C). Cette intensité peut être soit positive soit négative, selon que le condensateur se charge ou se décharge.

Relations entre les charges[modifier | modifier le wikicode]

L'électron est porteur d'une charge électrique négative. Lorsqu'un condensateur est chargé, l'une des armatures présente un excès d'électrons et l'autre armature présente un déficit d'électrons. Soit un condensateur constitué de deux armatures notées a et b. Les charges aux bornes d'un condensateur sont égales mais opposées. On note :


q_a = -q_b = q\,


Capacité d'un condensateur[modifier | modifier le wikicode]

Condensateurs chimiques de différentes capacités.

La charge q d'un condensateur est proportionnelle à la tension électrique existant entre ses bornes. On note :

q = C\times u_c


[C] = [F]\times [V]


C est la capacité du condensateur, elle s'exprime en farads (symbole F).

Comme le farad est une unité très grande, les capacités que l'on rencontre le plus fréquemment s'échelonnent entre 10^{-3} et 10^{-12} farad, c'est-à-dire entre le millifarad (mF) et le picofarad (pF).

Condensateur en convention récepteur[modifier | modifier le wikicode]

Schéma en convention récepteur.

Au cours de la charge ou de la décharge du condensateur, la charge électrique q change.

q est donc une fonction du temps : on la notera q(t).


i(t) = \frac{dq(t)}{dt}    or    q(t) = C.u_C(t)    donc    i(t) = \frac{dC.u_C(t)}{dt} = C.\frac{du_C(t)}{dt}

i = \frac{Cdu}{dt} pour u et i de sens « opposés ». Si u et i sont de même « sens » : i = -\frac{Cdu}{dt}

Réponse d'un circuit RC à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]

On appelle échelon de tension le passage brutal de la tension d'une valeur nulle à une valeur non nulle.
u_c(0) = 0\,

Équation différentielle[modifier | modifier le wikicode]

Schéma 1

D'après la loi d'additivité des tensions, E = u_R+u_c\,

D'après la loi d'Ohm, u_R = Ri\,

Donc E = Ri+u_c\,

Par définition i = \frac{dq}{dt} et q = Cu_c\,

Donc i = \frac{d(Cu_c)}{dt} = C\frac{du_c}{dt}

Donc E = RC\frac{du_c}{dt} + u_c\,

Équation différentielle du circuit RC :

\frac{E}{RC} = \frac{du_c}{dt}+\frac{1}{RC}u_c


Solution[modifier | modifier le wikicode]

La solution de cette équation différentielle est de la forme u_c(t) = Ae^{-kt}+B\,

  • quand t\rightarrow\infty , u_c = B d'où B = E\,
  • quand t = 0\,, u_c(0) = 0 = A+B\, d'où A = -B = -E\,
  • \frac{d(-Ee^{-kt}+E)}{dt}+\frac{1}{RC}(-Ee^{-kt}+E) = \frac{E}{RC}

\Rightarrow-k(-Ee^{-kt})+\frac{1}{RC}(-Ee^{-kt}+E) = \frac{E}{RC}

\iff-k(-Ee^{-kt})+\frac{1}{RC}(-Ee^{-kt})+\frac{E}{RC} = \frac{E}{RC}

\iff-Ee^{-kt}(-k+\frac{1}{RC}) = 0

Or cela est valable pour toute valeur de t, et notamment pour t = 0 donc -k+\frac{1}{RC} = 0 donc k = \frac{1}{RC}
  • Solution de l'équation différentielle :

Tension aux bornes du condensateur en fonction du temps lors de la charge :
u_c(t) = -Ee^{-kt}+E\,

u_c(t) = E(1-e^{-\frac{t}{RC}}).


Constante de temps du circuit RC[modifier | modifier le wikicode]

Expression et analyse dimensionnelle[modifier | modifier le wikicode]

La constante de temps \tau\, (tau) a pour expression \tau = R.C\, Cherchons la dimension de \tau\, :


R = \frac{u}{i} = \frac{[V]}{[A]}    et    C = \frac{q}{u} = \frac{i.t}{u} = \frac{[A].[s]}{[V]}

or    \tau\, = R.C\,    donc    \tau\, = \frac{[V].[A].[s]}{[A].[V]}

finalement :

\tau = [s]\,


Le produit R.C est donc analogue à une durée. En unités internationales, \tau\, s'exprime en secondes. On l'appelle la constante de temps du circuit RC.

Détermination de la constante de temps[modifier | modifier le wikicode]

Dertmination de tau.svg
  • Tracer la courbe de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps lors de sa charge.
  • Tracer une droite d'ordonnée la valeur finale de la charge (u_{max}) du condensateur.
  • Tracer une droite, partant de l'origine de la courbe et tangente à la courbe en ce même point.
  • Le point d'intersection des ces deux droites a lieu à l'abscisse d'instant \tau et à cette abscisse, l'ordonnée de la courbe vaut \textstyle{(1-e^{-1})u_{max} \approx 0,63u_{max}}


Au cours de la charge du condensateur à travers une résistance R, sous une tension E du générateur :

  • À t = \tau, u_C = 0,63E
  • À t = 5\tau, u_C = 0,99E (Le condensateur est pratiquement chargé)

Influence des caractéristiques du circuit RC sur \tau[modifier | modifier le wikicode]

Comme on l'a vu plus haut, \tau = R \cdot C, Cela implique que,

  • Si R augmente, \tau augmente;
  • Si C augmente, \tau augmente.

Décharge d'un condensateur dans une résistance[modifier | modifier le wikicode]

u_c(0) = E\,

Établissement de l'équation différentielle[modifier | modifier le wikicode]

D'après la loi d'additivité des tensions, u_R + u_c = 0\,
Or u_R = Ri\, et i = \frac{dq}{dt} = \frac{d(Cu_c)}{dt} = C\frac{du_c}{dt}
On remplace : RC\frac{du_c}{dt} + u_c = 0
Soit

\frac{du_c}{dt} + u_c\frac{1}{RC} = 0


Solution[modifier | modifier le wikicode]

On a une solution de la forme u_c(t) = Ae^{-kt}+B\,

  • On injecte dans l'équation différentielle :

\frac{d(Ae^{-kt}+B)}{dt} + (Ae^{-kt}+B)\frac{1}{RC} = 0

-kAe^{-kt} + Ae^{-kt}\frac{1}{RC} + B\frac{1}{RC} = 0

Ae^{-kt}\left (-k+\frac{1}{RC}\right ) + \frac{B}{RC} = 0

Par identification des coefficients, -k+\frac{1}{RC} = 0
d'où k = \frac{1}{RC}, de même on trouve B = 0\,
  • Les conditions initiales donnent A :

à t = 0, u_c(0) = E\, d'où A = E\,

  • Solution de l'équation différentielle :

u_c(t) = Ee^{-\frac{t}{RC}}
soit

u_c(t) = Ee^{-\frac{t}{\tau}}


Énergie électrique emmagasinée dans un condensateur[modifier | modifier le wikicode]

En convention récepteur, la puissance du condensateur s'écrit:  p(t) = u(t) \times i(t)

Or,  i(t) = C \frac{du}{dt}

On a donc  p(t) = u(t)\times C \frac{du}{dt} = \frac 12 \times C \times \frac{du^2}{dt}

Puis  \frac {dE}{dt} = p(t), on en déduit:

 E(t) = \frac 12 \times C \times u^2;

L'expression de l'énergie dans un condensateur dépend du temps. Sa formule est la suivante :

E_C = \frac{1}{2}C \times u_C^2 = \frac{1}{2}\frac{q^2}{C}


Démonstration :

L'énergie électrique emmagasinée lors de la charge sous une tension u est de la forme :


W_E = \int_0^t P.dt = \int_0^u d(\frac 12 \times C \times u^2) du= \frac 12 C \times u^2


En effet,


 P = u \times  i = u \times C \times  \frac {du}{dt} = \frac 12 C \frac {du^2}{dt}


Capacité Équivalente[modifier | modifier le wikicode]

Il est possible de calculer la capacité équivalente à celle de plusieurs condensateurs :

  • En série: \frac{1}{C1} + \frac{1}{C2} ... + \frac{1}{Cn} = \frac{1}{Ceq}
  • En parallèle : C1 + C2 ... + Cn = Ceq


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