Leçons de niveau 14

Équation du troisième degré/Exercices/Nombres algébriques de degré 3

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Nombres algébriques de degré 3
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Exercices no8
Leçon : Équation du troisième degré
Chapitre du cours : Nombres algébriques de degré 3

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Résolution de problèmes du troisième degré
Exo suiv. :Sommaire
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Équation du troisième degré/Exercices/Nombres algébriques de degré 3
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Exercice 8-1[modifier | modifier le wikicode]

Calculer le polynôme minimal sur de chacun des nombres suivants :

  1. est l'une des trois racines cubiques de  ;
  2.  ;
  3. .

Exercice 8-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient α un nombre algébrique de degré 3, de polynôme minimal

et

une transformation homographique, avec , et .

Calculer le polynôme minimal de .

Application : quel est le polynôme minimal de  ?

Exercice 8-3[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que les trois nombres

sont algébriques de degré 3 et de même polynôme minimal :

.

Exercice 8-4[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que les trois nombres

, et

sont algébriques de degré 3 et de même polynôme minimal :

.

Exercice 8-5[modifier | modifier le wikicode]

Vérifier que pour avec  :

.

En déduire que les trois nombres , et sont algébriques de degré 3 et de même polynôme minimal :

,

puis résoudre l'équation

.

En déduire aussi que le nombre

est égal à .

Exercice 8-6[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que si un nombre est algébrique de degré 3 alors son carré l'est aussi.