Série numérique/Séries à termes positifs

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Séries à termes positifs

Chapitre no5
Leçon : Série numérique
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Chap. suiv. :	Convergence absolue

   

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Le Théorème de comparaison et ses applications

On remarquera l'analogie avec les intégrales généralisées.

Début d'un lemme

Lemme

Soit $\sum u_n\,$ une série numérique à termes positifs ($u_n \ge 0\;\forall n \in \mathbb N\,$ ).
$\sum u_n\,$ converge si, et seulement si, la suite des sommes partielles $(S_n)\,$ est majorée .

Fin du lemme

Démonstration

Cela découle directement du Théorème de la Limite monotone appliqué à la suite $(S_n)\,$ : comme $u_n = S_{n+1}-S_n \ge 0\,$ , cette suite est croissante. Elle converge donc si, et seulement si, elle est majorée.

 

Voici maintenant l'un des principaux Théorèmes d'étude des séries à termes positifs.

Début d'un théorème

Théorème de comparaison (séries numériques)

Soient $\sum u_n\,$ et $\sum v_n\,$ des séries à termes positifs telles que $u_n \le v_n \forall n \in \mathbb N\,$ .

• Si $\sum v_n\,$ converge, alors $\sum u_n\,$ converge.
• Si $\sum u_n\,$ diverge, alors $\sum v_n\,$ diverge.

Fin du théorème

Démonstration

La deuxième assertion est la contraposée de la première.
On note $(U_n)\,$ et $(V_n)\,$ les suites de sommes partielles associées, respectivement à $\sum u_n\,$ et $\sum v_n\,$ .
Si $\sum v_n\,$ converge, alors $(V_n)\,$ est majorée, d'après le Lemme. Mais $u_n \le v_n \Rightarrow U_n \le V_n\,$ donc si $(V_n)\,$ est majorée, alors $(U_n)\,$ aussi, ce qui implique, d'après le Lemme que $\sum u_n\,$ converge, ce qui est le résultat voulu.

 

Exemple : Montrer que $\sum \mathrm{e}^{-n^2}\,$ converge.
Il suffit de remarquer que $\forall n\in \mathbb N,\; n \le n^2 \Rightarrow -n \ge -n^2 \Rightarrow \mathrm{e}^{-n} \ge \mathrm{e}^{-n^2}\,$ .
Mais $\sum \mathrm{e}^{-n} = \sum \left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)^n\,$ converge, comme série géométrique de raison $\frac{1}{\mathrm{e}} < 1\,$ .Le Théorème de comparaison donne alors le résultat.

Début d'un corollaire

Corollaire : Séries et relations de comparaison

Soient $\sum u_n\,$ et $\sum v_n\,$ des séries à termes positifs.

• Si $u_n \underset{+\infty}{=} O(v_n)\,$, alors $\sum v_n \mathrm{\;converge\;} \Rightarrow \sum u_n \mathrm{\;converge\;}\,$.
  
  
• Si $u_n \underset{+\infty}{\sim} v_n\,$, alors $\sum v_n \mathrm{\;converge\;} \iff \sum u_n \mathrm{\;converge\;}\,$.

Fin du corollaire

La démonstration repose sur le Théorème de comparaison et la définition des relations de comparaison.
Exemple : Montrer que $\sum \ln \left(1+\frac{1}{n^2}\right)\,$ converge.
$\ln \left(1+\frac{1}{n^2}\right) \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{n^2}\,$ donc il y a bien convergence car $\sum \frac{1}{n^2}\,$ converge.

Règles de D'Alembert et de Cauchy

Début d'un théorème

Règle de D'Alembert

Soit $\sum u_n\,$ une série à termes positifs.

• Si $\lim_{n\to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} < 1\,$ , alors $\sum u_n\,$ converge.
• Si $\lim_{n\to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1\,$ , alors $\sum u_n\,$ diverge.
• Si $\lim_{n\to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1\,$ , alors on ne peut pas conclure.

Fin du théorème

On utilise cette règle quand l'expression de $u_n\,$ comporte des produits ou des quotients.

Démonstration

à faire.

 

Exemple : Montrer que $\sum \frac{n!}{n^n}\,$ converge.
On calcule :
$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \frac{n^n}{n!} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n} \xrightarrow[n\to +\infty]{} e^{-1} <1\,$ donc $\sum \frac{n!}{n^n}\,$ converge par la règle de D'Alembert.

Début d'un théorème

Règle de Cauchy

Soit $\sum u_n\,$ une série à termes positifs.

• Si $\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{u_n} < 1\,$ , alors $\sum u_n\,$ converge.
• Si $\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{u_n} > 1\,$ , alors $\sum u_n\,$ diverge.
• Si $\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{u_n} = 1\,$ , alors on ne peut pas conclure.

Fin du théorème

On utilise cette règle quand l'expression de $u_n\,$ comporte des puissances de $n\,$ .

Démonstration

à faire.

 

Exemple : Montrer que $\sum \frac{x^n}{n^n}\,$ converge $\forall x>0\,$ .
On calcule :
$\sqrt[n]{u_n} = \frac{x}{n} \xrightarrow[n\to +\infty]{} 0 <1\,$ donc $\sum \frac{x^n}{n^n}\,$ converge par la règle de Cauchy.

Comparaison série-intégrale

(à faire)

Série numérique

Propriétés

Convergence absolue