Série numérique/Introduction

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Sommaire 1 Introduction 1.1 Exemples 2 Convergence 2.1 Condition nécessaire

[modifier] Introduction

Définition

On appelle série de terme général un la suite (Sn) définie par : où uk est une suite de nombres réels. On dit qu'une série converge si la suite (Sn) admet une limite S. Si une série ne converge pas, on dit qu'elle est divergente.

[modifier] Exemples

u_n = ( − 1)ⁿ
S_n = 1 − 1 + 1 − 1 + ... + ( − 1)ⁿ
Pour n pair, S_n vaut 1, pour n impair, S_n vaut 0.
La série Σ( − 1)ⁿ est donc divergente.

[modifier] Convergence

[modifier] Condition nécessaire

Pour qu'une série converge, il faut que son terme général u_n tende vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

C'est une condition nécessaire mais non suffisante. Un exemple classique de série divergente de terme général vérifiant cette condition est la série harmonique : u_n = 1 / n.

En effet S_n = 1 + 1 / 2 + ... + 1 / n et S_2n = 1 + 1 / 2 + ... + 1 / n + ... + 1 / 2n.
D'où S_2n − S_n = 1 / (n + 1) + 1 / (n + 2) + ... + 1 / 2n > n / 2n et S_2n − S_n > 1 / 2
Supposons que la série converge, alors S_n et S_2n admenttent une même limite S et S_2n − S_n = 0 lorsque n tend vers l'infini. Ce qui est en contradiction avec S_2n − S_n > 1 / 2, donc la série diverge.