Série numérique/Rappels

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Rappels

Chapitre no2
Leçon : Série numérique
Chap. préc. :	Introduction
Chap. suiv. :	Définition

   

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Début d'une définition

Définition

$\sum_{i=m}^{n} a_{i}$ désigne la somme $a_{m} + a_{m+1} + ... + a_{n-1} + a_{n}\,$.

Fin de la définition

Linéarité de la série numérique

$\sum_{i=m}^{n}(a_{i} + b_{i}) = \sum_{i=m}^{n} a_{i} + \sum_{i=m}^{n} b_{i}$

$\sum_{i=m}^{n}\lambda(a_{i}) = \lambda \left( \sum_{i=m}^{n} a_{i} \right)$

Produit et distributivité

$\left( \sum_{i=m}^{n}a_{i} \right) \left( \sum_{j=p}^{q}b_{j} \right) = \sum_{i=m}^{n} \left( \sum_{j=p}^{q}(a_{i}b_{j}) \right) = \sum_{j=p}^{q} \left( \sum_{i=m}^{n}(a_{i}b_{j}) \right)$

Découpage

$\sum_{i=m}^{p} a_{i} = \sum_{i=m}^{n-1} a_{i} + \sum_{i=n}^{p} a_{i} = \sum_{i=m}^{n} a_{i} + \sum_{i=n+1}^{p} a_{i}$ avec $m \le n \le p$.

On a donc :

$\sum_{i=m}^{n} a_{i} + \sum_{i=n}^{p} a_{i} = \sum_{i=m}^{p} a_{i} + a_n \ne \sum_{i=m}^{p} a_{i}$

Inégalité de Cauchy-Schwarz

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} \right)^2 \le \left( \sum_{i=1}^{n} (a_{i})^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} (b_{i})^2 \right)$

Série numérique

Introduction

Définition