Série entière/Exercices/Calcul de sommes
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| Exercice 5 | |||
| Leçon : Série entière | |||
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Cet exercice est de niveau 14. |
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Série entière/Exercices/Calcul de sommes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère la série entière de la variable réelle x : 
Sommaire |
[modifier] Question 1
Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière.
R=1.
En effet, pour ![x \in \left[ -1 , 1 \right]](http://upload.wikimedia.org/math/a/3/5/a35298611e14d4684171a221621d0b68.png)
, on majore xn par 1 en valeur absolue, et Riemann nous assure de la convergence de la série.
Pour x > 1 en valeur absolue, 
.
Ainsi la série diverge trivialement, ce qui prouve R=1.
[modifier] Question 2
Est-elle convergente pour x = R ? Pour x = − R ?
La réponse est oui et oui ! Considérons le cas où R=1, on minore le dénominateur par (n-2)² et 1/(n-2)² est le terme général d'une série convergente. Pour R=-1, on peut faire appel à la règle spécifique aux séries alternées, puisque le terme général est bien décroissant, tend vers 0 et vérifie l'alternance des signes.
[modifier] Question 3
Pour tout nombre réel x tel que la série entière précédente converge, on note S(x) sa somme.
- 1. Expliciter la dérivée de la fonction
sur ] − R,R[. - 2. En déduire S(x) pour x appartenant à ] − R,R[.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?
[modifier] Question 4
Calculer la somme de chacune des séries numériques suivantes :
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?
