Série entière/Propriétés

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**Propriétés**
Leçon : Série entière

Chapitre 3
Chap. préc. :	Définition formelle - rayon de convergence
Chap. suiv. :	Développement en série entière

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Série entière/Propriétés », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Rayon de convergence

Ceci a déjà été introduit au travers des différents exemples du chapitre précédent. Voici maintenant la définition formelle, et les propriétés relatives à ce rayon.

[modifier] Définition, propriétés

Définition

Pour toute série entière S donnée, il existe un réel positif R, dit rayon de convergence tel que :

(i) pour tout z tel que $\left|z\right| < R$ , S converge ;
(ii) pour tout z tel que $\left|z\right| > R$ , S diverge ;
(iii) $\forall p \in [0,\infty[, \; p < R \Rightarrow$ S converge normalement sur $\bar D_p = \{z \in \mathbb C | z\le p\}$

Démonstration

Cette démonstration permet de mettre en lumière un aspect utile pour le calcul du rayon de convergence.

Soit $B = \{ r \in \R |(a_n r^n)_{n \in \N}\ \mathrm{est~une~suite~born\acute ee}\}$

On a déjà $B \ne \empty$ :

pour r=0, la suite $(a_0 + 0 + 0 + \cdots )$ est bornée, donc $0 \in B$ .

Soit alors $R=\begin{cases} \sup(B), & \mathrm{si}~B~\mathrm{born\acute e} \\ \infty, & \mathrm{si}~B~\mathrm{non~born\acute e} \end{cases}$

Montrons que R convient pour les trois propriétés.

(i) z < R

$\exists r \in B\ \mathrm{tq}\ \left| y \right| < r$ ( $(a_n r^n)_{n \in \N}$ est bornée )

Ainsi, $\left| a_n z^n\right| = \left| a_n r^n {z^n \over r^n} \right| \le M ({z \over r})^n = M k^n$

(ii) z > R = sup(B)

Donc $(a_n z^n)_{n \in \N}$ n'est pas bornée, donc $(a n z n)$ ne tend pas vers 0, donc la série diverge.

(iii) soit $0 \le p < R \rightarrow \exists r \in B\ \mathrm{tq}\ 0 \le p < r < R$ $\forall z \in \bar D(0,p) \left| a_n z^n\right| = \left| a_n r^n\right|\left| {z^n \over r^n} \right| \le M ({p \over r})^n = M k^n$ (rappel : $u n (z) = a n z n$ ) ${\|u_n\|}_{\bar D(0,p)} \le ({p \over r})^n \longmapsto 0$
la convergence est donc normale

[modifier] Propriétés que l'on déduit de la définition

(i) $(a_n z_0^n)_{n \in \N}\ \mathrm{born\acute ee}\ \Rightarrow R \ge |z_0|$

(ii) $(a_n z_0^n)_{n \in \N}\ \mathrm{non~born\acute ee}\ \Rightarrow R \le |z_0|$

(iii) $\sum a_n z_0^n \ \mathrm{converge} \ \Rightarrow R \ge |z_0|$

(iv) $\sum a_n z_0^n \ \mathrm{diverge}\ \Rightarrow R \le |z_0|$

[modifier] Opérations

(i) $R(\sum \lambda a_n z^n)=\begin{cases} R(\sum a_n z^n), & \mathrm{si}~\lambda~\mathrm{diff\acute erent~de~0 } \\ \infty, & \mathrm{si}~\lambda~\mathrm{ = 0} \end{cases}$

(ii) $R(\sum (a_n+b_n) z^n) \ge \operatorname{min}( R(\sum a_n z^n), R(\sum b_n z^n) )$ avec égalité si les rayons sont différents.

(iii) série paire, impaire : $R = \operatorname{min} ( R_i, R_p)$ avec $R_i = R(\sum a_{2n+1} z^{2n+1})$ et $R_p = R(\sum a_{2n} z^2n)$

[modifier] Continuité

[modifier] Dérivation, intégration

Série entière

Définition formelle - rayon de convergence

Développement en série entière

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Sommaire

[modifier] Rayon de convergence

[modifier] Définition, propriétés

[modifier] Propriétés que l'on déduit de la définition

[modifier] Opérations

[modifier] Continuité

[modifier] Dérivation, intégration

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