Série numérique/Séries à termes positifs

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Le théorème de comparaison et ses applications

On remarquera l'analogie avec les intégrales généralisées.

Début d'un lemme

Lemme

Soit $\sum u_{n}$ une série numérique à termes positifs ($\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}\geq 0$).

$\sum u_{n}$ converge si et seulement si la suite des sommes partielles $(S_{n})$ est majorée.

Fin du lemme

Démonstration

Cela découle directement du théorème de la limite monotone appliqué à la suite $(S_{n})$ : comme $u_{n}=S_{n+1}-S_{n}\geq 0$, cette suite est croissante. Elle converge si et seulement si elle est majorée.

 

Voici maintenant l'un des principaux théorèmes d'étude des séries à termes positifs.

Début d’un théorème

Théorème de comparaison (séries numériques)

Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ des séries à termes positifs telles que, à partir d'un certain rang, $u_{n}\leq v_{n}$.

• Si $\sum v_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge.
• Si $\sum u_{n}$ diverge, alors $\sum v_{n}$ diverge.

Fin du théorème

Démonstration

La deuxième assertion est la contraposée de la première.

Supposons, sans perte de généralité, que $u_{n}\leq v_{n}$ pour tout $n\in \mathbb {N}$, et notons $(U_{n})$ et $(V_{n})$ les suites des sommes partielles associées, respectivement, à $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$.

Si $\sum v_{n}$ converge, alors $(V_{n})$ est majorée, d’après le lemme. Mais $u_{n}\leq v_{n}\Rightarrow U_{n}\leq V_{n}$ donc si $(V_{n})$ est majorée, alors $(U_{n})$ aussi, ce qui implique, d’après le lemme, que $\sum u_{n}$ converge, ce qui est le résultat voulu.

 

Début de l'exemple

Exemples

• Montrer que $\sum \mathrm {e} ^{-n^{2}}$ converge.

Solution

Pour tout $n\in \mathbb {N}$, on a $n\leq n^{2}$ donc $0<\mathrm {e} ^{-n^{2}}\leq \mathrm {e} ^{-n}$.

Or $\sum \mathrm {e} ^{-n}=\sum \left({\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)^{n}$ est une série géométrique convergente car ${\frac {1}{\mathrm {e} }}<1$. Le théorème de comparaison donne alors le résultat.

 

• Sachant que la série harmonique $\sum {\frac {1}{n}}$ diverge, montrer que la série de Riemann $\sum {\frac {1}{n^{\alpha }}}$ diverge aussi lorsque le réel $\alpha$ est inférieur à $1$.

Solution

Si $\alpha \leq 1$ alors pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$, ${\frac {1}{n^{\alpha }}}\geq {\frac {1}{n}}>0$.

 

Fin de l'exemple

Corollaire : séries et relations de comparaison

Soit $\sum v_{n}$ une série à termes positifs.

• Si $u_{n}{\underset {+\infty }{=}}O(v_{n})$, alors $\sum v_{n}{\text{ converge }}\Rightarrow \sum u_{n}{\text{ converge}}$.
• Si $u_{n}{\underset {+\infty }{\sim }}v_{n}$, alors $\sum v_{n}{\text{ converge }}\iff \sum u_{n}{\text{ converge}}$.

La démonstration repose sur le théorème de comparaison et la définition des relations de comparaison.

Début de l'exemple

Exemples

• Étudier la nature de la série $\sum {\frac {2^{n}-3}{4^{n}+7}}$.

Solution

${\frac {2^{n}-3}{4^{n}+7}}\sim {\frac {2^{n}}{4^{n}}}={\frac {1}{2^{n}}}>0$ donc la série converge car $\sum {\frac {1}{2^{n}}}$ est une série géométrique convergente.

 

• Soit $\left(t_{n}\right)$ une suite réelle telle que $t_{n}=O\left(r^{n}\right)$ pour un certain $r\in \left[0,1\right[$. Montrer que $\sum \left|\sin t_{n}\right|$ converge.

Solution

$\left|\sin t_{n}\right|\leq \left|t_{n}\right|$ et il existe $M$ tel que $\left|t_{n}\right|\leq Mr^{n}$, or $\sum Mr^{n}$ est une série géométrique convergente.

 

• La série de Riemann $\sum {\frac {1}{n^{\alpha }}}$ converge si (et seulement si) le réel $\alpha$ est strictement supérieur à $1$ : voir l'exercice lié.

Faites ces exercices : Exemple de télescopage, exercice 1.

Signalons par ailleurs que l'on sait calculer les sommes $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ lorsque $\alpha$ est un entier pair (cf. Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta), la plus connue étant $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$.

• Montrer que $\sum \ln \left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)$ converge.

Solution

Toute série est de même nature que son opposée.

$-\ln \left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\sim {\frac {1}{n^{2}}}>0$ donc il y a bien convergence car $\sum {\frac {1}{n^{2}}}$ est une série de Riemann convergente.

 

Fin de l'exemple

Règles de D'Alembert et de Cauchy

Début d’un théorème

Règle de D'Alembert

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes strictement positifs. On note $\ell$ et $L$ les limites inférieure et supérieure des quotients successifs :

$0\leq \ell :=\liminf {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq L:=\limsup {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq +\infty$.

• Si $L<1$ alors $\sum u_{n}$ converge.
• Si $\ell >1$, alors $\sum u_{n}$ diverge grossièrement.

(Si $\ell \leq 1\leq L$, on ne peut rien conclure.)

Fin du théorème

Lorsque la suite $\left({\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right)$ admet une limite $\lambda$, l'énoncé se simplifie car $\ell =\lambda =L$.

Démonstration

Si $L<1$, soit $q$ un réel tel que $L<q<1$. Puisque $L<q$, à partir d'un certain rang $N$, $u_{n+1}/u_{n}\leq q$. Ainsi, la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq N}$ est majorée par la suite géométrique $\left(u_{N}q^{n-N}\right)_{n\geq N}$. Et puisque $q<1$, la série géométrique converge donc par comparaison, $\sum u_{n}$ converge.

Si $\ell >1$ alors, à partir d'un certain rang $N$, $u_{n+1}/u_{n}\geq 1$, autrement dit : la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq N}$ est croissante, donc $u_{n}\geq u_{N}>0$. Par conséquent, la suite $\left(u_{n}\right)$ ne tend pas vers $0$.

 

On utilise cette règle quand l’expression de $u_{n}$ comporte des produits ou des quotients : voir l'exercice lié.

Faites ces exercices : Cauchy et d'Alembert, exercice 2.

Début d’un théorème

Règle de Cauchy

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes positifs. On considère la limite supérieure

$p:=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}$

.

• Si $p<1$, alors $\sum u_{n}$ converge.
• Si $p>1$, alors $\sum u_{n}$ diverge grossièrement.

(Si $p=1$, on ne peut pas conclure.)

Fin du théorème

Démonstration

• Si $p<1$, soit $q$ un réel tel que $p<q<1$. Puisque $p<q$, à partir d'un certain rang $N$, $u_{n}^{1/n}\leq q$. Ainsi, la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq N}$ est majorée par la suite géométrique $\left(q^{n}\right)_{n\geq N}$. Et puisque $q<1$, la série géométrique converge donc par comparaison, $\sum u_{n}$ converge.
• Si $p>1$, il existe une infinité de valeurs n telles que $u_{n}^{1/n}\geq 1$, donc telles que $u_{n}\geq 1$. Par conséquent, la suite $\left(u_{n}\right)$ ne tend pas vers $0$.

 

On utilise cette règle quand l’expression de $u_{n}$ comporte des puissances $n$-ièmes : voir l'exercice lié.

Faites ces exercices : Cauchy et d'Alembert, exercice 3.

Remarque

Lorsque la suite $({\sqrt[{n}]{u_{n}}})$ admet une limite $\lambda$, en particulier lorsque la suite $\left({\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right)$ admet une limite $\lambda$, on a $p=\lambda$.