Groupe (mathématiques)/Sous-groupe distingué et groupe quotient

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**Sous-groupe distingué et groupe quotient**
Leçon : Groupe (mathématiques)

Chapitre 4
Chap. préc. :	Classes modulo un sous-groupe
Chap. suiv. :	Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z

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[modifier] Sous-groupe distingué

Définition

Un sous-groupe distingué, ou normal, H d'un groupe G est un sous-groupe de G tel que :

$\forall g \in G, gHg^{-1} \subseteq H$

Cette définition est équivalente à dire que gH $g - 1$ = H.
En effet, si $gHg^{-1} \subseteq H$ pour tout g, ceci est aussi vrai pour $g - 1$ , donc $g^{-1}Hg \subseteq H$ , d'où en multipliant correctement $H \subseteq gHg^{-1}$ .

Remarques :

Si H est un sous-groupe distingué de G, les classes à gauche et à droite de G suivant H coïncident : $\forall g \in G : gH = Hg$ . On vérifie facilement que cette propriété caractérise les sous-groupes distingués : un sous-groupe H d'un groupe G est distingué si et seulement les classes à gauche de G suivant H sont identiques aux classes à droite.
{e} et G sont toujours des sous-groupes distingués.
Dans un groupe abélien, tout sous-groupe est distingué.
Nous verrons qu'un sous-groupe de G de la forme $g H g - 1$ avec $g \in G$ est appelé un conjugué de H. La définition revient donc à dire qu'un sous-groupe est distingué si et seulement s'il est son seul conjugué.
Rappelons que si f est une application d'un ensemble X dans lui-même, une partie A de X est dite stable par f si $f(A) \subseteq A$ . Un sous-groupe de G est donc distingué dans G si et seulement s'il est stable par tout automorphisme intérieur de G.
Si un sous-groupe H de G est distingué dans G, il est distingué dans tout sous-groupe intermédiaire entre H et G.
Les groupes symétriques finis et les groupes alternés nous fourniront de nombreux exemples de sous-groupes non distingués.
Un sous-groupe distingué d'un sous-groupe distingué d'un groupe G n'est pas forcément un sous-groupe distingué de G. Nous en verrons un exemple dans le cas où G est le quatrième groupe alterné. (Chapitre sur les groupes symétriques finis, sous-chapitre sur les sous-groupes distingués de S_n et de A_n.)
On vérifie facilement que si (H_i)_{i ∈ I} est une famille non vide de sous-groupes distingués d'un groupe G, $\bigcap _{i \in I} H_{i}$ est un sous-groupe distingué de G. Soit X une partie de G. L'ensemble des sous-groupes distingués de G contenant X n'est pas vide, car il comprend au moins G. D'après ce qui précède, l'intersection des sous-groupes distingués de G contenant X est donc un sous-groupe distingué de G. C'est le plus petit sous-groupe distingué de G contenant X. On l'appelle le sous-groupe distingué de G engendré par X. Par minimalité de <X>, il est clair que le sous-groupe <X> de G engendré par X est contenu dans le sous-groupe distingué de G engendré par X.

Soient G un groupe et K un sous-groupe de G. On vérifie facilement que les éléments g de G tels que $g K g - 1 = K$ forment un sous-groupe de G.

Définition

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. On appelle normalisateur de H dans G et on note $N G (H)$ le sous-groupe de G formé par les éléments g de G tels que $g H g - 1 = H$ .

Il est clair que $N G (H)$ contient H et que c'est le plus grand sous-groupe de G contenant H dans lequel H est distingué. Un sous-groupe H de G est sous-groupe distingué de G si et seulement si $N G (H)$ est G tout entier.

Proposition

Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. On suppose que K est contenu dans le normalisateur $N G (H)$ de H. (C'est le cas, par exemple, si H est sous-groupe distingué de H. Alors

1° HK est égal à KH et est le sous-groupe de G engendré par $H \cup K$ ;

2° si H et K sont tous deux distingués dans G, HK est distingué dans G.

Démonstration. Quitte à remplacer G par $N G (H)$ , nous pouvons supposer que H est sous-groupe distingué de G. Nous avons

$HK = \bigcup _{x \in K}Hx$ .

Comme les classes à droite suivant H sont identiques aux classes à gauche, ceci peut s'écrire

$HK = \bigcup _{x \in K}xH = KH$ .

Ainsi, HK = KH. Nous avons vu que, de façon générale, si A et B sont deux sous-groupes de G tels que AB = BA, alors AB est un sous-groupe de G; c'est évidemment le sous-groupe de G engendré par $A \cup B$ , d'où le point 1° de l'énoncé. Supposons que K soit lui aussi distingué dans G et prouvons que HK est distingué dans G. Pour tout élément g de G, nous avons g(HK)g^-1 = (gHg^-1)(gKg^-1 = HK, d'où la thèse.

Remarque. Soient G un groupe commutatif noté additivement, H et K des sous-groupes de G. Puisque G est commutatif, H et K sont distingués dans G, donc, d'après ce qui précède, le sous-groupe de G engendré par H et K est l'ensemble H + K des éléments de G de la forme h + k, avec h dans H et k dans K. Cela peut évidemment se démontrer plus directement.

Proposition

Soit $f : G_{1} \rightarrow G_{2}$ un homomorphisme de groupes et H un sous-groupe distingué de $G 2$ .
Alors $f - 1 (H)$ est un sous-groupe distingué de $G 1$ .

Démonstration :
$f - 1 (H)$ est un sous-groupe de $G 1$ d'après la leçon précédente.
Soient $x \in G_{1}$ et $h \in f^{-1}(H)$ .
$f(xhx^{-1}) = f(x)f(h)f(x^{-1}) \in H$ car f(h) est dans H et H est distingué.
Donc $xhx^{-1} \in f^{-1}(H)$ .

Corollaire 1

Le noyau d'un homomorphisme de groupes est un sous-groupe distingué.

Démonstration. Ce noyau est l'image réciproque de {e}, qui est distingué.

Nous verrons dans la suite de ce chapitre que, réciproquement, tout sous-groupe distingué d'un groupe G est le noyau d'un homomorphisme de groupes partant de G.

Corollaire 2

Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. Si K est contenu dans le normalisateur N_G(H) (ce qui est le cas, par exemple, si H est sous-groupe distingué de G), $H \cap K$ est sous-groupe distingué de K.

Démonstration. Quitte à remplacer G par N_G(H), nous pouvons supposer que H est sous-groupe distingué de G. Dans le précédent théorème, prenons pour G₁ le groupe K, pour G₂ le groupe G et pour f l'inclusion $x \mapsto x$ de K dans G, qui est évidemment un homomorphisme. Nous trouvons que $f - 1 (H)$ , c'est-à-dire $H \cap K$ , est un sous-groupe distingué de G₁, c'est-à-dire de K. (On peut évidemment donner une démonstration plus directe.)
Remarque. Nous retrouverons ceci dans le second théorème d'isomorphisme.

Proposition

Soit $f : G_{1} \rightarrow G_{2}$ un homomorphisme de groupes et H un sous-groupe distingué de $G 1$ .
Alors $f (H)$ est un sous-groupe distingué de $f (G 1)$ .

Démonstration. Soit y un élément de $f (G 1)$ . Il s'agit de prouver que $yf(H)y^{-1} \subseteq f(H)$ . Soit h un élément de H; il s'agit de prouver que $yf(h)y^{-1} \in f(H)$ . Puisque y appartient à $f (G 1)$ , il existe un élément x de $G 1$ tel que y = f(x), donc

$(1) \quad yf(h)y^{-1} = f(x)f(h)f(x)^{-1} = f(xhx^{-1})$ .

Comme H est distingué dans $G 1$ , $xhx^{-1} \in H$ , donc $f(xhx^{-1} \in f(H)$ , autrement dit, d'après (1), $yf(h)y^{-1} \in f(H)$ , comme annoncé.
Remarque : si f n'est pas surjectif, f(H) n'est pas forcément sous-groupe distingué de $G 2$ . (Prendre par exemple un sous-groupe A non distingué d'un groupe B, poser $G 1 = H = A$ et $G 2 = B$ , prendre pour f l'injection canonique $x \mapsto x$ de $G 1 = A$ dans $G 2 = B$ .)

Proposition

Si f est un homomorphisme surjectif d'un groupe G sur un groupe Q, si S est un sous-groupe de Q, il existe un et un seul sous-groupe K de G contenant le noyau de f et tel que S = f(K). Le sous-groupe S est distingué dans Q si et seulement si le sous-groupe K est distingué dans G.

Démonstration. Soit N le noyau de f. Puisque S est un sous-groupe de Q, $f - 1 (S)$ est un sous-groupe de K de G qui contient N; de plus, S = f(K). Si L est un «autre» sous-groupe de G contenant N et tel que f(L) = S, alors f(L) = f(K); tout élément de L est donc le produit d'un élément de K par un élément de N, qui est lui-même un élément de K, donc L est contenu dans K; de même, K est contenu dans L, donc K et L sont égaux. Nous avons donc prouvé qu'il existe un et un seul sous-groupe K de G contenant le noyau de f et tel que S = f(K). Si S est distingué dans Q, alors, d'après un théorème précédent, $f - 1 (S)$ , c'est-à-dire K, est distingué dans G. Réciproquement, si K est distingué dans G, il résulte d'un théorème précédent que f(K) est distingué dans f(G), c'est-à-dire, puisque f est surjectif, dans Q.

Définition

Un groupe simple est un groupe non réduit à {e} qui n'a que {e} et lui-même comme sous-groupes distingués.

Exemples :

$\frac{\Z}{p\Z}$ avec p premier est simple (il n'a pas de sous-groupe propre). Ce sont les groupes abéliens simples. (On le démontrera au chapitre des groupes monogènes.)
Le groupe alterné A_n est simple pour n = 3 ou $n \ge 5$ . (Nous le verrons dans un des chapitres suivants.)
Toutes les structures de groupes simples finis ont été classées à peu près entre 1955 et 1983; voir les articles de Wikipédia en français et anglais.

[modifier] Définition d'un groupe quotient

Rappelons que, de façon générale, si X et Y sont deux parties d'un groupe G noté multiplicativement, on désigne par XY l'ensemble des produits xy, où x parcourt X et y parcourt Y. On définit ainsi une loi de composition associative (vérification facile) dans l'ensemble des parties de G. Si X (par exemple) est réduit à un seul élément x, on écrit aussi xY (notation déjà rencontrée) au lieu de {x}Y.

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G.

Montrons que si X et Y sont deux classes d'éléments de G suivant H, XY en est une aussi. (Rappel : il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite, puisque le sous-groupe H est distingué.)
Il existe des éléments x et y de G tels que X soit la classe de x suivant H et Y la classe de y. Nous avons alors XY = (Hx)(yH) = H(xy)H; comme H est distingué, nous pouvons remplacer H(xy) par (xy)H et nous trouvons XY = xyHH. Mais HH = H (puisque H est un sous-groupe de G), donc la relation obtenue peut s'écrire XY = xyH, ce qui montre bien que XY est une classe suivant H (et, plus particulièrement, la classe de xy).

De ce qui précède, il résulte qu'en faisant correspondre à une classe X et une classe Y l'ensemble XY, nous définissons une loi de composition $\star$ dans l'ensemble des classes suivant H et que cette loi peut être caractérisé par la relation

$xH \star yH = (xy)H$ .

Prouvons que cette loi est une loi de groupe. Elle est associative, car elle est induite par une loi de composition associative définie dans l'ensemble des parties de G (voir plus haut). Il est clair que H est une classe suivant H, à savoir la classe 1H du neutre 1; la règle $xH \star yH = (xy)H$ , notée plus haut, montre donc que H est neutre à gauche (faire $x = 1$ ) et à droite (faire $y = 1$ ); ainsi, H est neutre pour notre loi $\star$ . Enfin, la règle $xH \star yH = (xy)H$ donne $xH \star x^{-1}H = H$ et aussi $x^{-1}H \star xH = H$ , ce qui montre que la classe xH admet la classe $x - 1 H$ pour inverse.
Nous avons donc défini une loi de groupe dans l'ensemble des classes d'éléments de G suivant H.

Définition

Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. On désigne l'ensemble des classes d'éléments de G suivant H par G/H (ou encore par $\frac{G}{H}$ ). Le groupe obtenu en munissant G/H de la loi de composition $X \star Y = XY$ , loi qu'on peut encore caractériser par $xH \star yH = (xy)H$ , est appelé le groupe quotient de G par H.

La relation

$xH \star yH = (xy)H$ .

montre que la surjection $x \mapsto xH$ de G sur G/H est un homomorphisme de groupes, dit homomorphisme canonique, ou surjection canonique, de G sur G/H.

Il est clair que le noyau de cet homomorphisme est H, ce qui montre que tout sous-groupe distingué d'un groupe G est noyau d'un homomorphime de groupes partant de G.

Remarque : pour prouver que la loi définie sur l'ensemble des classes est une loi de groupe et la surjection canonique un homomorphisme de groupes, nous aurions pu dire brièvement que la relation

$xH \star yH = (xy)H$ .

montre que la surjection $x \mapsto xH$ de G sur l'ensemble des classes est un homomorphisme de magmas; or si $f : M_{1} \rightarrow M_{2}$ est un homomorphisme surjectif de magmas et que $M 1$ est un groupe, alors $M 2$ est un groupe et f est un homomorphisme de groupes.

[modifier] Sous-groupes d'un groupe quotient

Théorème

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Tout sous-groupe de G/H est de la forme K/H, où K est un sous-groupe de G contenant H. Ce sous-groupe K de G est défini de manière unique. Le sous-groupe K/H est distingué dans G/H si et seulement si K est distingué dans G.

Démonstration. Nous avons vu que si f est un homomorphisme surjectif de G sur un groupe Q, si S est un sous-groupe de Q, il existe un et un seul sous-groupe K de G contenant le noyau de f et tel que S = f(K); nous avons vu de plus que S est distingué dans Q si et seulement si K est distingué dans G. En prenant pour f la surjection canonique de G sur G/H, nous obtenons l'énoncé.

Corollaire

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. L'application $K \mapsto K/H$ est une bijection de l'ensemble des sous-groupes distingués de G contenant H sur l'ensemble des sous-groupes distingués de G/H.

[modifier] Les trois théorèmes d'isomorphisme

Soit $f : G \rightarrow H$ un homomorphisme de groupes. Nous désignerons par K = Ker(f) le noyau de f et par Im(f) son image $f (G)$ . Si deux éléments x et y de G appartiennent à une même classe suivant Ker(f), ils ont la même image par f, donc pour toute classe X, il existe un et un seul élément z de Im(f) possédant la propriété suivante :

$\forall x \in X, z = f(x)$ .

Si à chaque classe X, nous faisons correspondre cet élément z, nous définissons une application $\tilde{f}: G/Ker(f) \rightarrow Im(f)$ telle que, pour tout $x \in X$ ,

$(1) \quad \tilde{f}(xKer(f)) = f(x)$ .

Pour tous éléments x, y de G,

$\tilde{f}((xK)(yK)) = \tilde{f}(xyK) = f(xy) = f(x)f(y) = \tilde{f}(xK)\tilde{f}(yK)$ ,

donc $\tilde{f}$ est un homomorphisme de G/Ker(f) dans H.
La relation (1) montre que $\tilde{f}$ (qui a Im(f) pour groupe d'arrivée) est surjectif : tout élément de Im(f) est image d'un certain x par f et est donc image de l'élément xK de G/Ker(f) par $\tilde{f}$ .
La même relation (1) montre que si $\tilde{f}(xK) = 1$ , alors f(x) = 1, donc $x \in Ker(f)$ , donc xK est l'élément neutre K du groupe G/K. Ainsi, le seul élément du noyau de $\tilde{f}$ est l'élément neutre, donc $\tilde{f}$ est injectif et, finalement, est un isomorphisme de G/Ker(f) sur Im(f).
Nous avons ainsi prouvé le

Premier théorème d'isomorphisme

Soit $f : G \rightarrow H$ un homomorphisme de groupes. Le groupe quotient G/Ker(f) et le groupe Im(f) sont isomorphes. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme $\tilde{f}$ de G/Ker(f) sur Im(f) qui, pour tout élément x de G, applique la classe de x suivant Ker(f) sur f(x).

Désignons par p l'homomorphisme canonique de G sur G/Ker(f) et par i l'injection canonique $x \mapsto x$ de Im(f) dans H (i est évidemment un homomorphisme). Alors f se décompose en $i \circ \tilde{f} \circ p$ .

Il résulte du premier théorème d'isomorphisme et de la relation

$\vert G \vert = \vert G:K \vert \cdot \vert K \vert$

que si f est un homomorphisme partant d'un groupe G,

$\vert G \vert = \vert Im(f) \vert \cdot \vert Ker(f) \vert$ .

En particulier, l'ordre de Im(f) divise celui de G.

Second théorème d'isomorphisme

Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. On suppose que K est contenu dans le normalisateur N_G(H) de H (ce qui est le cas par exemple si H est distingué dans G). Alors $H \cap K$ est un sous-groupe distingué de K et $K/(H \cap K)$ est isomorphe à $\ HK/H$ . Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme f de $K/(H \cap K)$ sur $\ HK/H$ tel que, pour tout élément x de K, $f(x(H \cap K)) = xH$ .

Démonstration. Quitte à remplacer G par N_G(H), nous pouvons supposer que H est distingué dans G. Soit $\varphi : G \rightarrow G/H$ l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Désignons par $ψ$ la restriction de $\varphi$ à K. Le noyau de $ψ$ est $H \cap K$ , qui est donc un sous-groupe distingué de K. (Nous l'avons déjà démontré autrement plus haut.) L'image de $ψ$ est l'ensemble des classes d'éléments de K suivant H et il est clair que cet ensemble est le sous-groupe $\ HK/H$ de G/H. L'énoncé résulte donc du premier théorème d'isomorphisme appliqué à l'homomorphisme $ψ$ .

Troisième théorème d'isomorphisme

Soient $\ G$ un groupe, $\ H$ un sous-groupe distingué de $\ G$ , $\ L$ un sous-groupe distingué de $\ G$ contenu dans $\ H$ . Alors $\ H/L$ est un sous-groupe distingué de $\ G/L$ et $\ (G/L)/(H/L)$ est isomorphe à $\ G/H$ .

Démonstration. Nous savons déjà que H/L est un sous-groupe distingué de G/L (voir sous-groupes d'un groupe quotient). Toute classe X de G suivant L est contenue dans une et une seule classe suivant H. En effet, X est de la forme xL avec x dans G, donc X est contenue dans la classe xH suivant H; la classe suivant H qui contient X est unique, puisque deux classes suivant H non disjointes sont égales. À toute classe X suivant L, faisons correspondre l'unique classe suivant H qui contient X. Nous définissons ainsi une application f de G/L dans G/H telle que, pour tout élément x de G, f(xL) = xH. Il est clair que f est un homomorphisme surjectif et que son noyau est H/L (ce qui prouve de nouveau que ce sous-groupe est distingué dans G/L). L'énoncé en résulte, d'après le premier théorème d'isomorphisme.

Remarque. Reprenons les hypothèses du premier théorème d'isomorphisme : soient $f : G \rightarrow H$ un homomorphisme de groupes, K = Ker(f) le noyau de f et Im(f) son image $f (G)$ . Soit, de plus, L un sous-groupe normal de G contenu dans K = Ker(f). Il existe un (et un seul) homomorphisme g de G/L dans H tel que, pour tout élément x de G, on ait g(xL) = f(x).
Pour le prouver, on peut soit généraliser la démonstration du premier théorème d'isomorphisme, soit composer $G/L \rightarrow G/K \rightarrow H$ , où l'homomorphisme $G/L \rightarrow G/K$ est défini comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, et où l'homomorphisme $G/K \rightarrow H$ est défini comme dans la démonstration du premier théorème d'isomorphisme.

Groupe (mathématiques)

Classes modulo un sous-groupe

Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z

Groupe (mathématiques)/Sous-groupe distingué et groupe quotient

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Sommaire

[modifier] Sous-groupe distingué

[modifier] Définition d'un groupe quotient

[modifier] Sous-groupes d'un groupe quotient

[modifier] Les trois théorèmes d'isomorphisme

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