Théorie des groupes/Exercices/Automorphismes d'un groupe cyclique

Problème 1

Soit G un groupe, soit n un nombre naturel non nul. Prouver que le nombre des éléments d'ordre n de G est égal à φ(n) fois le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre n de G. (La fonction φ est l'indicateur d'Euler, défini dans le chapitre théorique.)

Solution

Désignons par E_n l’ensemble des éléments d'ordre n de G et par C_n l’ensemble des sous-groupes cycliques d'ordre n de G. Alors x ↦ <x> définit une application f de E_n dans C_n. D'après le chapitre théorique, tout groupe cyclique d'ordre n possède exactement φ(n) générateurs, donc tout élément de C_n est image d'exactement φ(n) éléments de E_n. D'après le principe des bergers, le cardinal de E_n est donc égal à φ(n) fois le cardinal de C_n, ce qui est l'énoncé.

 

Problème 2

a) Démontrer que si a et b sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau Z/abZ est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau Z/aZ par le groupe multiplicatif de l'anneau Z/bZ. (Indication : utiliser le théorème chinois, démontré dans les exercices de la série Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z.) En déduire que si n est un nombre naturel ≥ 1, si p₁, ... , p_r sont les différents facteurs premiers de n, si $\ n=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{r}^{e_{r}},$ alors le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est isomorphe au produit direct des groupes multiplicatifs des anneaux $\mathbb {Z} /p_{i}^{e_{i}}\mathbb {Z} .$ (Ceci détermine entièrement la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ, quel que soit le nombre naturel n ≥ 1, puisque, dans la partie théorique, nous avons déterminé la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/p^mZ pour tout nombre premier p et tout nombre naturel m ≥ 1.)

Solution

Si x et y sont deux entiers rationnels congrus entre eux modulo ab, x et y ont la même classe modulo a et la même classe modulo b. Il existe donc une (et une seule) application f de $f:\mathbb {Z} /ab\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /a\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /a\mathbb {Z}$ telle que, pour tout entier rationnel x,

$f(x+ab\mathbb {Z} )=(x+a\mathbb {Z} ,x+b\mathbb {Z} ).$

Si x + abZ est un élément inversible de l'anneau Z/abZ, c'est-à-dire si x est premier avec ab, alors x est premier avec a et avec b, donc x + aZ est un élément inversible de l'anneau Z/aZ et x + bZ est un élément inversible de l'anneau Z/bZ. Donc, si, pour tout nombre naturel n, nous désignons par U_n l’ensemble des éléments inversibles de l'anneau Z/nZ, f induit une application $g:U_{ab}\rightarrow U_{a}\times U_{b}.$ On vérifie facilement que g est un homomorphisme de $\ U_{ab}$ dans le produit direct (externe) $\ U_{a}\times U_{b}.$ Si deux entiers rationnels sont congrus à la fois modulo a et modulo b, ils sont congrus modulo ab. Il en résulte que l'homomorphisme g est injectif. Prouvons qu’il est surjectif. Soient y un entier rationnel premier avec a et z un entier rationnel premier avec b; il s'agit de prouver qu’il existe un entier rationnel x premier avec ab tel que $x\equiv y{\pmod {a}}$ et $x\equiv z{\pmod {v}}$. D'après le théorème chinois, il existe un entier rationnel x satisfaisant à ces congruences. De la première congruence et du fait que y est premier avec a, il résulte que x est premier avec a. De même, x est premier avec b, donc x est premier avec ab, ce qui achève la démonstration de la première partie de l'énoncé.
La seconde partie s'en déduit par récurrence sur r, compte tenu de l' « associativité » de la somme restreinte.

 

b) En déduire une nouvelle démonstration du fait que si a et b sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, $\ \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b).$

Solution

C'est une conséquence immédiate du point a), puisque, pour tout nombre entier rationnel n ≥ 1, $\ \varphi (n)$ est égal à l’ordre du groupe multiplicatif de Z/nZ.

 

c) Pour quels nombres naturels n ≥ 1 le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est-il cyclique ?

Solution

Prouvons que le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est cyclique si et seulement si une des conditions suivantes est satisfaite :
1° n = 1;
2° n = 2;
3° n = 4;
4° n = p^r, où p est un nombre premier impair et r un nombre naturel ≥ 1;
5° n = 2 p^r, où p est un nombre premier impair et r un nombre naturel ≥ 1.
Si n est égal à 1, à 2 ou à 4, $\ \varphi (n)$ est égal à 1 ou à 2, donc l’ordre du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est égal à 1 ou à 2, donc ce groupe est cyclique. Si n est de la forme p^r, où p est un nombre premier impair et r un nombre naturel ≥ 1, le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est cyclique d’après la théorie. Enfin, si n est de la forme p^r, où p est un nombre premier impair et r un nombre naturel ≥ 1, il résulte du point a) que le groupe multiplicatif U_n de l'anneau Z/nZ est isomorphe à la somme directe de $U_{2}$ et de $U_{p^{r}}$ (où, comme plus haut, U_x désigne le groupe multiplicatif de l'anneau Z/xZ). Puisque $U_{2}$ est réduit à l'élément neutre, $U_{2p^{r}}$ est donc isomorphe à $U_{p^{r}}$ et est donc cyclique.
Prouvons maintenant que si aucune des conditions 1° à 5° n'est satisfaite, U_n n’est pas cyclique. Dans ce cas, ou bien n a au moins deux facteurs premiers impairs distincts, ou bien il est de la forme 2^sp^r, où p est un nombre premier impair, s ≥ 2 et r ≥ 1.
Si tout d’abord n a deux facteurs premiers impairs distincts, soit

$n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\ldots p_{u}^{e_{u}}$

la décomposition de n en facteurs premiers, avec u ≥ 2. Alors U_n est somme directe d'une famille de sous-groupes parmi lesquels figurent $U_{p_{1}^{e_{1}}}$ et $U_{p_{2}^{e_{2}}}$. Les ordres de $U_{p_{1}^{e_{1}}}$ et de $U_{p_{2}^{e_{2}}}$ sont tous deux pairs et ne sont donc pas premiers entre eux, donc leur somme directe n’est pas cyclique. Donc U_n admet un sous-groupe non cyclique et n'est donc pas cyclique.
Si maintenant n est de la forme 2^sp^r, où p est un nombre premier impair, s ≥ 2 et r ≥ 1, alors U_n est isomorphe à la somme directe de $U_{2^{s}}$ et de $U_{p^{r}}$. Ici encore, les ordres de $U_{2^{s}}$ et de $U_{p^{r}}$ sont tous deux pairs, donc leur somme directe n’est pas cyclique, donc U_n n’est pas cyclique.

 

Problème 3

a) Soit G un groupe cyclique, soient a et b deux éléments de G ayant le même ordre. Prouver qu'il existe un automorphisme de G qui applique a sur b.

Solution

Notons G multiplicativement et désignons son ordre par n. Vu la caractérisation des automorphismes d'un groupe cyclique qui a été donnée dans le chapitre théorique, il s'agit de prouver qu'il existe un entier rationnel s premier avec n tel que a^s = b. Désignons par d l'ordre de a et de b. Alors d divise n et les sous-groupes <a> et <b> de G sont d'ordre d. D'après le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément, un groupe cyclique a au plus un sous-groupe d'un ordre donné, donc <a> = <b>. Donc chacun des éléments a et b est un générateur du même groupe cyclique <a> = <b>. D'après un théorème démontré au chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément, il existe donc un entier rationnel r premier avec d tel que a^r = b. Pour prouver notre thèse, à savoir qu'il existe un entier rationnel s premier avec n tel que a^s = b, il suffit donc de prouver qu'il existe un entier rationnel s premier avec n tel que s ≡ r (mod d). Désignons par d' le produit des facteurs premiers de n qui ne divisent pas d. D'après le théorème chinois, démontré dan les exercices de la série Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z, il existe un entier rationnel s congru à r modulo d et à 1 modulo d'. Alors s est premier avec d et avec d', donc est premier avec n et satisfait donc aux conditions voulues.

 

b) Soient G un groupe monogène et H un sous-groupe de G. Prouver que tout automorphisme de H s'étend en un automorphisme de G.

Solution

Si G est infini, il est isomorphe à ℤ,+ et on peut se ramener au cas où G = ℤ,+. On sait que tout sous-groupe de ℤ,+ est de la forme nℤ, où n est un nombre naturel ≥ 0. Si n = 0, alors H est nul et son seul automorphisme s'étend évidemment en un automorphisme de ℤ, par exemple l'automorphisme identité. Si maintenant n > 0, alors nℤ est isomorphe à ℤ, donc ses seuls isomorphismes sont x ↦ x et x ↦ -x. Le premier de ce deux automorphismes de nℤ se prolonge en l'automorphisme x ↦ x de ℤ et le second en l'automorphisme x ↦ -x de ℤ. L'énoncé est donc vrai si G est infini.
Supposons maintenant G fini. Soit f un automorphisme de H. Il 'agit de prouver que f peut se prolonger en un automorphisme de G. Choisissons un générateur a de H. Alors a et f(a) ont le même ordre (voir un exercice de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément), donc, d'après le point a), il existe un automorphisme g de G qui applique a sur f(a). Alors g admet une birestriction à H qui est un endomorphisme de H appliquant a sur f(a). Puisque a engendre H, la birestriction de g à H est donc égale à f.