Fonctions circulaires/Fonction tangente

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Fonction tangente
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Chapitre 3
Leçon : Fonctions circulaires
Chap. préc. : Fonction sinus
Chap. suiv. : Dérivées des fonctions circulaires (11)


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Sommaire

[modifier] Fonction tangente

Tangent-unit-circle.svg


Définition

  • Soit x un nombre réel.
Sa tangente est la tangente de l'unique angle dont x est une mesure. Il est noté \tan(x)\,.
  • La fonction qui à tout nombre réel x associe sa tangente est appelée fonction tangente, et est notée tan.

[modifier] Représentation graphique

On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction tangente sur [ − 2π,2π].

Tan.svg

[modifier] Périodicité

Définition

Une fonction périodique de période P est telle que :

Pour tout x :

f(x+P)=f(x)\,

Interprétation graphique : La courbe d'une fonction périodique de période P est invariante par translation de vecteur (P,0).

Periodic function illustration.svg


Propriété

La fonction tangente est périodique de période π, c'est-à-dire :

Pour tout réel x ,

\tan(x+\pi)=\tan(x)\,

[modifier] Imparité

Définition

Une fonction impaire est telle que pour tout x :

f(-x)=-f(x)\,.

Interprétation graphique : La courbe d'une fonction impaire est invariante par symétrie centrale par rapport à l'origine.


Propriété

La fonction tangente est impaire, c'est-à-dire :

\tan(-x)=-\tan(x)\,.

[modifier] Valeurs remarquables

α \scriptstyle 0 \textstyle\frac{\pi}6 \textstyle\frac{\pi}4 \textstyle\frac{\pi}3 \textstyle\frac{\pi}2 \textstyle\frac{2\pi}3 \textstyle\frac{3\pi}4 \textstyle\frac{5\pi}6 \scriptstyle\pi
tan α \scriptstyle 0 \textstyle\frac{\sqrt3}3 \scriptstyle 1 \scriptstyle{\sqrt3} Non défini -\scriptstyle{\sqrt3} -\scriptstyle 1 -\textstyle\frac{\sqrt3}3 \scriptstyle 0
α \scriptstyle 0 \scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}6 \scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}4 \scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}3 \scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}2 \scriptstyle -\textstyle\frac{2\pi}3 \scriptstyle -\textstyle\frac{3\pi}4 \scriptstyle -\textstyle\frac{5\pi}6 \scriptstyle -\pi
tan α \scriptstyle 0 -\textstyle\frac{\sqrt3}3 -\scriptstyle 1 -\scriptstyle{\sqrt3} Non défini \scriptstyle{\sqrt3} \scriptstyle 1 \textstyle\frac{\sqrt3}3 \scriptstyle 0
Crystal Clear action back.png Fonction sinus