Fonctions circulaires/Dérivées des fonctions circulaires

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Dérivées des fonctions circulaires
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Chapitre 4
Leçon : Fonctions circulaires
Chap. préc. : Fonction tangente
Chap. suiv. : Sommaire


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Fonctions circulaires/Dérivées des fonctions circulaires », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Dérivées des fonctions circulaires

Théorème
  • La fonction cosinus définie sur \R par f(x) = \cos(x)\, est dérivable sur \R\,, sa dérivée est :
f '(x) = -\sin(x)\,



Théorème
  • La fonction sinus définie sur \R par f(x) = \sin(x)\, est dérivable sur \R\,, sa dérivée est :
f '(x) = \cos(x)\,



Théorème
  • La fonction tangente définie sur \R \setminus \left \{\frac{\pi}{2} \right \} par f(x) = \tan(x)\, est dérivable sur ce même intervalle, sa dérivée est :
f '(x) = \left (\frac{\sin(x)}{cos(x)} \right)' = \frac{\cos(x) \times \cos(x) - \sin(x) \times (-\sin(x))}{cos^2 (x)} = \frac{\cos^2 (x) + \sin^2 (x)}{cos^2 (x)}\,
  • cos^2 (x) + sin^2 (x) = 1 \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{cos^2 (x)}\,
  • \frac{cos^2 (x)}{cos^2 (x)} + \frac{sin^2 (x)}{cos^2 (x)} \Rightarrow f'(x) = 1 + \tan^2 (x)\,

Rappel : Soit une fonction g définie par g(x) = f( ax + b ) où ƒ est une fonction dérivable, alors g est dérivable et sa dérivée est :

g'(x) = a f ' (ax+b)\,

[modifier] Exercice : Dériver les fonctions suivantes définies sur R

[modifier] Exemple 1

f(x) = \cos{(3x+2)}\,
f '(x) = \ldots \,
Solution

f'(x)=-3 \sin{(3x+2)}\,

[modifier] Exemple 2

f(x) = \sin{(2x)}\,
f ' (x) =\ldots\,
Solution

f'(x) = 2\cos{(2x)}\,

[modifier] Exemple 3 d'un courant sinusoïdal

Dans un circuit, on a un courant sinusoïdal

i(t) = 2 \cos{(\omega t-\phi)}\,

où ω est la pulsation et φ la phase.

Calculer sa dérivée par rapport au temps.

i '(t)=\ldots\,
Solution

i'(t)=-2\omega \sin{(\omega t-\phi)}\,

[modifier] Exemple 4

f(x) = \sin{\left (\frac{x}{2}\right )}
f '(x) =\ldots\,
Solution

f'(x)=\frac{1}{2}\cos{\left (\frac{x}{2}\right )}

[modifier] Exemple 5

f(x) = \cos{(-3x-7)}\,
f '(x) =\ldots\,
Solution

f'(x)=3\sin{(-3x-7)}\,

Crystal Clear action back.png Fonction tangente
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