Fonction logarithme/Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives

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**Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives**
Leçon : Fonction logarithme

Chapitre 6
Chap. préc. :	Dérivée de ln(u)
Chap. suiv. :	Logarithme de base quelconque

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Fonction logarithme/Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Principe
2 Inverse d’un fonction affine
3 Si u n’est pas affine, mais que le dénominateur est proportionnel à u’
4 Primitive prenant une valeur fixée

[modifier] Principe

Propriété

Soit u une fonction dérivable à valeurs strictement positives sur un intervalle I. Alors :

La fonction $f:x\mapsto\ln(u(x))$ est dérivable sur I
Pour tout $x\in\R,~f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$

Cette formule permet de déterminer certaines primitives, en mettant la fonction de départ sous la forme $\frac{u'}u$ , quitte à « compenser » par une constante multiplicative.

[modifier] Inverse d’un fonction affine

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sans se préoccuper de l’intervalle I où cela est possible.

- $u(x)=\cdots$
- $u'(x)=\cdots$
- Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par pour tout $x\in\R,~F(x)=\cdots$

Solution

$f(x)=\frac4{4x-3}$

$u(x)=4x-3\,$
$u'(x)=4\,$
On s'aperçoit que pour tout $x\in I, f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$
Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par pour tout $x\in I,~F(x)=\ln(u(x))=\ln(4x-3)\,$

- $u(x)=\cdots$
- $u'(x)=\cdots$
- Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par pour tout $x\in I,~F(x)=\cdots$

Solution

$f(x)=\frac1{2x+1}$

$u(x)=2x+1\,$
$u'(x)=2\,$
On aimerait bien faire apparaître le terme $\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac2{2x+1}$ dans l'expression de ƒ.
On manipule ƒ pour ce faire : pour tout $x\in I,~f(x)=\frac1{2x+1} \cdot2 \cdot\frac12=\frac12\frac{u'(x)}{u(x)}$
Comme les constantes multiplicatives sont transparentes à la « primitivation », une primitive de ƒ est la fonction F définie par pour tout $x\in I,~F(x)=\frac12\ln(u(x))=\frac12\ln(2x+1)$

- $u(x)=\cdots$
- $u'(x)=\cdots$
- Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par pour tout $x\in I,~F(x)=\cdots$

Solution

$f(x)=\frac{-3}{4x-3}$

$u(x)=4x-3\,$
$u'(x)=4\,$
On aimerait bien faire apparaître le terme $\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac4{4x-3}$ dans l'expression de ƒ.
On manipule ƒ pour ce faire : pour tout $x\in I,~f(x)=\frac{-3}{4x-3} \cdot \frac4{-3} \cdot\frac{-3}4=\frac{-3}4\frac{u'(x)}{u(x)}$
Comme les constantes multiplicatives sont transparentes à la « primitivation », une primitive de ƒ est la fonction F définie par pour tout $x\in I,~F(x)=\frac{-3}4\ln(u(x))=-\frac34\ln(4x-3)$

Remarque : La fonction logarithme est indispensable au calcul de ces primitives.

[modifier] Si u n’est pas affine, mais que le dénominateur est proportionnel à u’

- $u(x)=\cdots$
- $u'(x)=\cdots$
- Donc $F(x)=\cdots$

Solution

$f(x)=\frac{2x+4}{x^2+4x-3}$

$u(x)=x^2+4x-3\,$
$u'(x)=2x+4\,$
On s'aperçoit que pour tout $x\in I, f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$
Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par pour tout $x\in I,~F(x)=\ln(u(x))=\ln(x^2+4x-3)\,$

- $u(x)=\cdots$
- $u'(x)=\cdots$
- Donc $F(x)=\cdots$

Solution

$f(x)=\frac{x-2}{x^2-4x+1}$

$u(x)=x^2-4x+1\,$
$u'(x)=2x-4=2(x-2)\,$
On s'aperçoit que pour tout $x\in I, f(x)=\frac{u'(x)}{2u(x)}$
Comme les constantes multiplicatives sont transparentes à la « primitivation », une primitive de ƒ est la fonction F définie par pour tout $x\in I,~F(x)=\frac12\ln(u(x))=\frac12\ln(x^2-4x+1)\,$

[modifier] Primitive prenant une valeur fixée

Propriété

Deux nombres réels a et b étant fixés, il existe une unique primitive F de ƒ telle que $F(a)=b\,$ .

Autrement dit, fixer la valeur de la primitive cherchée en un point suffit à fixer la primitive.

Problématique : On désire trouver la primitive F de ƒ telle que F(a) = b en fixant correctement la constante K.

$f:x\mapsto\frac{x^2}{x^3+1}$ , définie sur $\R^+$

Déterminer la primitive F de ƒ sur $\R^+$ telle que $F(2)=-3\,$ .

Pour tout $x\in\R^+,~u(x)=\cdots$
Donc une primitive de ƒ est définie par pour tout $x\in \R^+,~F_0(x)=\cdots$
La primitive F de ƒ telle que F(2) = -3 est définie par pour tout $x\in \R^+,~F(x)=F_0(x)+K=\cdots+K$
$-3=F(2)=\cdots$
Donc $K=\cdots$

Finalement, la primitive F de ƒ telle que F(2) = -3 est définie par pour tout $x\in \R^+,~F(x)=\cdots$

Solution

Pour tout $x\in\R^+,~u(x)=x^3+1$ , soit $u'(x)=x^2\,$
Donc une primitive de ƒ est définie par pour tout $x\in \R^+,~F_0(x)=\ln(u(x))=\ln(x^3+1)$
La primitive F de ƒ telle que F(2) = -3 est définie par pour tout $x\in \R^+,~F(x)=F_0(x)+K=\ln(x^3+1)+K$
$-3=F(2)\,=\ln(9)+K=2\ln(3)+K$
Donc $K=-3-2\ln(3)\,$

Finalement, la primitive F de ƒ telle que F(2) = -3 est définie par pour tout $x\in \R^+,~F(x)=\ln(x^3+1)-3-2\ln(3)$

$f:x\mapsto\frac{-x}{x^2+5}$ , définie sur $\R$

Déterminer la primitive F de ƒ telle que $F(-1)=3\,$ .

Pour tout $x\in\R,~u(x)=\cdots$
Donc une primitive de ƒ est définie par pour tout $x\in\R,~F_0(x)=\cdots$
La primitive F de ƒ telle que F(-1) = 3 est définie par pour tout $x\in \R,~F(x)=F_0(x)+K=\cdots+K$
$3=F(-1)=\cdots$
Donc $K=\cdots$

Finalement, la primitive F de ƒ telle que F(-1) = 3 est définie par pour tout $x\in \R,~F(x)=\cdots$

Solution

Pour tout $x\in\R,~u(x)=x^2+5$ , soit $u'(x)=2x\,$
Donc une primitive de ƒ est définie par pour tout $x\in\R,~F_0(x)=-\frac12\ln(x^2+5)$
La primitive F de ƒ telle que F(-1) = 3 est définie par pour tout $x\in \R,~F(x)=F_0(x)+K=-\frac12\ln(x^2+5)+K$
$3=F(-1)=-\frac12\ln(6)+K$
Donc $K=3+\frac12\ln(6)$