Fonction logarithme/Exercices/Primitive d'une fraction rationnelle

Une page de Wikiversité.

**Primitive d'une fraction rationnelle**
Leçon : Fonction logarithme

Exercice 3
Chapitre du cours :	Recherche de primitives
Cet exercice est de niveau 12.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Primitive d'une fraction rationnelle
Fonction logarithme/Exercices/Primitive d'une fraction rationnelle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Le but de cet exercice est de calculer une primitive de :

$f(x)=\frac1{-x^2+6x+16}$

Mais f n’est pas de la forme u’/u.

1. Factoriser $-x^2 + 6x +16 =\ldots$

2. Déterminer a et b pour que :

$f(x)=\frac a{-x+8}+\frac b{x+2}$

3. Déterminer une primitive de f sur $[ - 1;1]$

Solution

1.

Méthode générale

On cherche les deux racines du polynôme, à partir du discriminant :

$\Delta = b^2 - 4ac = 36 + 4 \times 16 = 36 + 64 = 100$

On a $Δ > 0$ , donc le polynôme admet deux racines :

$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 + 10}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 - 10}{2} = -2$

Ainsi, on peut factoriser le polynôme sous la forme :

$-x^2+6x+16=-\left(x+2\right) \times \left(x-8\right)$

Méthode alternative

Une racine évidente de ce polynôme est x₁ = -2. Pourtant, il ne s'agit pas d'une identité remarquable. Par conséquent, il admet deux racines réelles.

On sait que la somme des racines égale -b/a = 6 et on trouve la seconde racine y. On résout ainsi directement le problème :

$-x^2+6x+16=-\left(x+2\right) \times \left(x-8\right)$

2. On a :

$f(x) = \frac{1}{{ - x^2 + 6x + 16}}$

Et on cherche a et b tels que :

$f(x)=\frac a{-x+8}+\frac b{x+2}$

Mettons ces fractions au même dénominateur :

$\begin{align} \frac a{-x+8}+\frac b{x+2}&=\frac{a(x+2)}{(-x+8) \times (x+2)} + \frac{b(-x+8)}{(-x+8) \times (x+2)}\\ &=\frac{ax+2a-bx+8b}{(-x+8) \times (x+2)}\\ &=\frac{(a-b)x+2a+ 8b}{(-x+8) \times (x+2)}\\ &=\frac{(a-b)x+2a+8b}{-x^2+6x+16} \end{align}$