Fonction dérivée/Dérivée de la puissance énième d'une fonction

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**Dérivée de la puissance énième d'une fonction**
Leçon : Fonction dérivée

Chapitre 7
Chap. préc. :	Dérivée d'un produit
Chap. suiv. :	Dérivée d'un quotient

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonction dérivée : Dérivée de la puissance énième d'une fonction
Fonction dérivée/Dérivée de la puissance énième d'une fonction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Problématique : Comment dériver directement des fonctions comme $x\mapsto (x^2-3)^4$ ou $x\mapsto (\cos(x))^3$ ?

On donne une formule générale très simple à retenir et à appliquer.

Sommaire

1 Fonctions de la forme uⁿ
2 Fonction de la forme 1/uⁿ
- 2.1 Exemple
- 2.2 Exercice

[modifier] Fonctions de la forme uⁿ

Théorème

Soient une fonction u dérivable sur un ensemble I et n un entier strictement positif.

Soit ƒ la fonction définie par $f:x\mapsto u(x)^n$

Alors ƒ est dérivable sur I et :

Pour tout $x\in I,~f '(x) = n.u'(x).u(x)^{n-1}$ .

Remarque : Dans l’écriture $u(x)^n\,$ , c’est bien le nombre $u(x)\,$ qui est mis à la puissance n et pas seulement x.

[modifier] Exemple

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto (3x + 5)^2$ définie sur $\R$

Ici on a :

Pour tout $x\in\R,~u(x) = 3x+5$
n = 2
Pour tout $x\in\R,~f(x)=u(x)^n$

On applique le théorème :

u est dérivable sur $\R$ , donc ƒ est dérivable sur $\R$
Pour tout $x\in\R,~u'(x) = 3$
Donc d’après le théorème, pour tout $x\in\R,~f '(x) = 2\times 3(3x+5)^{2-1} = 6(3x+5) = 18x + 30$

[modifier] Exemple

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto (x^2-3)^4$ , définie sur $\R$

Ici on a :

Pour tout $x\in\R,~u(x) = x^2-3$
n = 4
Pour tout $x\in\R,~f(x)=u(x)^n$

On applique le théorème :

u est dérivable sur $\R$ , donc ƒ est dérivable sur $\R$
Pour tout $x\in\R,~u'(x) = 2x$
Donc d’après le théorème, pour tout $x\in\R,~f '(x) = 8x(x^2-3)^3$

[modifier] Exemple

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto \cos(x)^3 = \cos^3(x)$ (attention à cette notation !), définie sur $\R$ .

Ici on a :

Pour tout $x\in\R,~u(x) =\cos(x)$
n = 3
Pour tout $x\in\R,~f(x)=u(x)^n$

On applique le théorème :

u est dérivable sur $\R$ , donc ƒ est dérivable sur $\R$
Pour tout $x\in\R,~u'(x) = -\sin(x)$
Donc d’après le théorème, pour tout $x\in\R,~f '(x)= -3\sin (x)\cdot\cos^2(x)$

[modifier] Exercice

Dériver les trois fonctions suivantes:

$f:x\mapsto \left(\frac{1}{x} + 2\right)^5$ , définie sur $\R^*$

$g:x\mapsto (\sqrt x-x)^2$ , définie sur $[0;+\infty[$

$h:x\mapsto 5\sin ^3(x)$ , définie sur $\R$

Solution

ƒ est dérivable sur $\R^*$ et, pour tout $x\in\R^*f'(x) = 5\left(\frac{-1}{x^2}\right) \left(\frac{1}{x}+2\right)^4$

g est dérivable sur $\color{red}]\color{black}0;+\infty[$ et, pour tout $]0;+\infty[,~g'(x) = 2\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-1\right)(\sqrt{x}-x)$

Attention à l'intervalle de dérivabilité, la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

h est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x\in\R,~h'(x) = 15 \cos(x)\sin^2(x)$

[modifier] Fonction de la forme 1/uⁿ

Théorème

Soient une fonction u dérivable sur un ensemble I et n un entier strictement positif.

Soit ƒ la fonction définie par $f:x\mapsto \frac1{u(x)^n}$

Alors ƒ est dérivable sur l'ensemble des valeurs de I sauf les valeurs pour lesquelles u s’annule et :

pour tout x dans cet ensemble, $f '(x) = \frac{-n.u'(x)}{u(x)^{n + 1}}$

Remarque : Cette formule peut se démontrer en étendant la précédente à n négatif ou encore en appliquant u/v.

[modifier] Exemple

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto \frac{1}{(-x^3+2x)^2}$ , définie sur un certain domaine I pour lequel $x\mapsto -x^3+2x$ ne s'annule pas.

Ici on a :

Pour tout $x\in I,~u(x) =-x^3+2x$
n = 2
Pour tout $x\in I,~f(x)=\frac1{u(x)^n}$

On applique le théorème :

u est dérivable sur I et ne s'annule pas sur I, donc ƒ est dérivable sur I
Pour tout $x\in\R,~u'(x) = -3x^2+2$
Donc d’après le théorème, pour tout $x\in I,~f'(x)=\frac{6x^2 - 4}{(-x^3+2x)^3}$

[modifier] Exercice

Dériver les trois fonctions suivantes :

$f:x\mapsto \frac{1}{\sin ^2 (x)}$ , définie sur $I_f=]0;\,\pi[$
$g:x\mapsto\frac{5}{(x^3 - 4)^2}$ , définie sur $I_g=\R\backslash\{\sqrt[3]4\}$
$h:x\mapsto \frac{-2}{(x+1)^3}$ , définie sur $I_h=\R\backslash\{-1\}$

Solution

Fonction ƒ

Pour tout $x\in I_f,~u(x) =\sin(x)$
n = 2
Pour tout $x\in I_f,~f(x)=\frac1{u(x)^n}$

On applique le théorème :

u est dérivable sur I_f et ne s'annule pas sur I_f, donc ƒ est dérivable sur I_f
Pour tout $x\in I_f,~u'(x) =\cos(x)$
Donc d’après le théorème, pour tout $x\in I_f,~f'(x)=\frac{-2\cos(x)}{\sin^3(x)}$

Fonction g

Pour tout $x\in I_g,~u(x)=x^3-4$
n = 2
Pour tout $x\in I_g,~g(x)=5\cdot\frac1{u(x)^n}$

On applique le théorème :

u est dérivable sur I_g et ne s'annule pas sur I_g, donc g est dérivable sur I_g
Pour tout $x\in I_g,~u'(x)=3x^2$
Donc d’après le théorème, pour tout $x\in I_g,~g'(x)=5\frac{-2\cdot 3x^2}{(x^3-4)^3}=\frac{-30x^2}{(x^3-4)^3}$

Fonction h

Pour tout $x\in I_h,~u(x) =x+1$
n = 3
Pour tout $x\in I_h,~h(x)=-2\frac1{u(x)^n}$

On applique le théorème :

u est dérivable sur I_h et ne s'annule pas sur I_h, donc h est dérivable sur I_h
Pour tout $x\in I_h,~u'(x)=1$
Donc d’après le théorème, pour tout $x\in I_h,~h'(x)=\frac{6}{(x+1)^4}$

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Dérivée d'un quotient

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