Calcul différentiel/Différentiabilité

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**Différentiabilité**
Leçon : Calcul différentiel

Chapitre 2
Chap. préc. :	Limites et continuité
Chap. suiv. :	Jacobien (14)

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Calcul différentiel/Différentiabilité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Introduction
2 Définition
3 Propriétés
4 Composantes et dérivées partielles
- 4.1 Lorsque F est un espace réel
- 4.2 Lorsque E est un espace réel

[modifier] Introduction

La notion de différentiabilité généralise celle de dérivée aux applications sur des espaces vectoriels. Dans toute la suite, sauf indication contraire, E et F désignent des espaces vectoriels normés quelconques.

[modifier] Définition

Différentiabilité d'une application

On dit qu'une application ƒ de E dans F est différentiable en un point x lorsqu'il existe :

une application linéaire, notée dƒ(x)(h), continue par rapport à h, appelée application différentielle de ƒ en x, définie sur E (ou une boule ouverte de E) et à valeurs dans F ;
une application $\varepsilon : E \to F$ vérifiant $\lim_{\mathbf x} \varepsilon = 0$

telles que l'on ait :

$\forall \mathbf h \in E, \quad f\left( \mathbf x + \mathbf h \right) = f\left( \mathbf x \right) + \mathrm df(\mathbf x) \left( \mathbf h \right) + \| \mathbf h \|_E \cdot \varepsilon \left( \mathbf h \right)$

La notation dƒ(x)(h) peut paraître ambigüe : « dƒ(x) » est bel et bien une application, on peut la remplacer par g ou un trèfle sans changer le sens. Il est important de bien avoir compris cela.

Précisons tout de même le cas des espaces de dimension finie :

Différentiabilité en dimension finie

Soit E et F deux espaces vectoriels normés de dimension finie. Soit ƒ une application de E dans F : elle est dite différentiable en un point x lorsqu'il existe :

une application linéaire dƒ(x) définie sur E (ou une boule ouverte de E) à valeurs dans F ;
une application $\varepsilon$ définie sur E (ou une boule ouverte de E), à valeurs dans F et dont la limite en x est nulle,

telles que l'on ait :

$\forall \mathbf h \in E,\quad f\left( \mathbf x + \mathbf h \right) = f \left( \mathbf x \right) + \mathrm df\left( \mathbf x \right)\left( \mathbf h \right) + \| h \|_E \cdot \varepsilon \left( \mathbf h \right)$

[modifier] Propriétés

Propriété

La différentiabilité d'une fonction en un point implique la continuité de cette fonction en ce même point.

La différentielle d'une fonction, si elle existe, est unique.

Le calcul explicite de la différentielle, lorsqu'il est possible, se fait en utilisant la formule :

$f\left( \mathbf x + \mathbf h \right) - f\left( \mathbf x \right)$

On recherche le terme linéaire en h, le reste devant être négligeable devant la norme de h.

Propriété

En dimension finie, toute application linéaire g est continue. En dimension infinie, il suffit qu'elle soit lipschitzienne, donc qu'il existe un réel M tel que :

$\forall \mathbf h \in E, \quad \|g(\mathbf h )\|_F \le M \cdot \| \mathbf h \|_F$

En dimension infinie, on doit toujours vérifier la continuité de l'application dƒ(x).

Cela mérite bien un exemple :

Exemple : différentielle d'une application linéaire

Soit ƒ une application linéaire de $\scriptstyle \R^p$ dans lui-même. Soit x un vecteur de cet espace. Alors :

$\forall \mathbf h \in E, \quad f(\mathbf x + \mathbf h) - f(\mathbf x) = f(\mathbf h)$

par linéarité. Il semble donc que :

$\mathrm df\left(\mathbf x \right) = f$

En effet, le reste est nul (donc négligeable devant la norme de h) et f est continue et linéaire. Conclusion : la différentielle d'une application linéaire est constante, et égale à l'application linéaire en question.

On retrouve cela pour les fonctions « élémentaires » comme $x \mapsto nx$ , dont la dérivée est constante et égale à $x \mapsto n$ .

Fort heureusement, il existe des théorèmes de composition similaire à ceux des fonctions numériques :

Différentielle d'une composée

Soit $f:E \to F$ et $g:F \to G$ deux applications différentiables, alors, pour tout x :

$\mathrm d \left( g \circ f \right)\left( \mathbf x \right) = \mathrm dg \left( f \left( \mathbf x \right) \right) \circ \mathrm df \left( \mathbf x \right)$ .

De même :

Différentielle d'un produit

Soit $f:E \to F$ et $g:F \to G$ deux applications différentiables, alors pour tout x:

$\mathrm d\left( f \star g \right) \left( \mathbf x \right)\left( \mathbf h \right) = \left[ \mathrm df \left( \mathbf x \right)\left( \mathbf h \right) \right]\star g\left(\mathbf x \right) + f\left( \mathbf x \right) \star \left[ \mathrm dg\left( \mathbf x \right) \left( \mathbf h \right) \right]$

où $\star$ note le produit (si $\scriptstyle F\,=\,G\,=\,\R$ ) ou le produit scalaire (sinon).

[modifier] Composantes et dérivées partielles

[modifier] Lorsque F est un espace réel

De même que pour la continuité, f est dérivable si et seulement si chacune de ses composantes l'est.

[modifier] Lorsque E est un espace réel

On utilise la notion de dérivée partielle :

Théorème

Si toutes les dérivées partielles de ƒ existent et sont continues (au moins sur un ouvert de E), alors ƒ est différentiable (en tout point de cet ouvert).

Rappelons que la dérivée partielle d'une application consiste à ne dériver que les termes concernés, les autres étant maintenus constants. Par exemple :

Exemple

On pose $f : \left(x, y, z\right) \mapsto x^2 + 2xy +y^3 + z$ , alors :

$\frac{\partial f}{\partial x} : \left(x, y, z \right) \mapsto 2x + 2y$

$\frac{\partial f}{\partial y} : \left(x, y, z \right) \mapsto 2x + 3y^2$

$\frac{\partial f}{\partial z} : \left(x, y, z \right) \mapsto 1$

La différentielle peut être exprimée à partir des dérivées partielles :

$\mathrm df\left( \mathbf x \right) \left( \mathbf h \right) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}\left( \mathbf x \right) \cdot h_i$ .

Dans l'exemple précédent, la différentielle de f s'écrit :

$\mathrm df = 2(x+y) \mathrm dx + (2x + 3y^2) \mathrm dy + \mathrm dz\,$

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[modifier] Lorsque F est un espace réel

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