Application linéaire/Exercices/Noyau et image

Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.

Exercice 2-1

Soient $a,b,u,v\in \operatorname {L} (E)$.

1. Montrer que :
   1. $au+bv=\mathrm {id} _{E}\Rightarrow E=\operatorname {im} a+\operatorname {im} b$ ;
   2. $ua+bv=\mathrm {id} _{E}\Rightarrow \ker a\subset \operatorname {im} b$ ;
   3. $ua+vb=\mathrm {id} _{E}\Rightarrow \ker a\cap \ker b=\{0\}$ ;
   4. $ab=0\Leftrightarrow \operatorname {im} b\subset \ker a$.
2. La question 1.4 se généralise facilement au cas où $b\in \operatorname {L} (E,F)$ et $a\in \operatorname {L} (F,G)$ (avec $E,F,G$ trois K-e.v. non nécessairement égaux). Généraliser de même (sans démonstration) les questions 1.1, 1.2 et 1.3.

Solution

1. 1. $au+bv=\mathrm {id} _{E}\Rightarrow \forall x\in E\quad x=a(u(x))+b(v(x))\in \operatorname {im} a+\operatorname {im} b$.
   2. $ua+bv=\mathrm {id} _{E}\Rightarrow \forall x\in \ker a\quad x=u(a(x))+b(v(x))=0+b(v(x))\in \operatorname {im} b$.
   3. $ua+vb=\mathrm {id} _{E}\Rightarrow \forall x\in \ker a\cap \ker b\quad x=u(a(x))+v(b(x))=u(0)+v(0)=0$.
   4. $ab=0\Leftrightarrow \forall x\in E\quad b(a(x))=0\Leftrightarrow \forall y\in \operatorname {im} b\quad a(y)=0$.
2. Les questions 1.1, 1.2 et 1.3 se généralisent respectivement au cas où :
   1. $u\in \operatorname {L} (E,F),a\in \operatorname {L} (F,E),v\in \operatorname {L} (E,G),b\in \operatorname {L} (G,E)$ ;
   2. $a\in \operatorname {L} (E,F),u\in \operatorname {L} (F,E),v\in \operatorname {L} (E,G),b\in \operatorname {L} (G,E)$ ;
   3. $a\in \operatorname {L} (E,F),u\in \operatorname {L} (F,E),b\in \operatorname {L} (E,G),v\in \operatorname {L} (G,E)$.

 

Exercice 2-2

Soient $u,v,w\in \operatorname {L} (E)$ tels que $u\circ v=w$, $v\circ w=u$ et $w\circ u=v$.

Montrer que ces trois endomorphismes ont même noyau et même image.

Solution

• $u\circ v=w\Rightarrow \operatorname {Ker} v\subset \operatorname {Ker} w$. De même, $\operatorname {Ker} w\subset \operatorname {Ker} u$ et $\operatorname {Ker} u\subset \operatorname {Ker} v$. Les trois noyaux sont donc égaux.
• $u\circ v=w\Rightarrow \operatorname {Im} w\subset \operatorname {Im} u$. De même, $\operatorname {Im} u\subset \operatorname {Im} v$ et $\operatorname {Im} v\subset \operatorname {Im} w$. Les trois images sont donc égales.

 

Exercice 2-3

Soient $u,v\in \operatorname {L} (E)$.

1. Vérifier que $\ker v\subset \ker u\circ v$ et $\operatorname {im} v\supset \operatorname {im} v\circ u$.
2. Montrer que $\ker v=\ker u\circ v\Leftrightarrow \ker u\cap \operatorname {im} v=\{0\}$.
3. Montrer que $\operatorname {im} v=\operatorname {im} v\circ u\Leftrightarrow E=\operatorname {im} u+\ker v$.

Solution

1. $\forall x\in \ker v\quad u\circ v(x)=u\left(v(x)\right)=u(0)=0$ donc $x\in \ker u\circ v$. On a donc bien $\ker v\subset \ker u\circ v$.
   D'autre part (comme pour toutes applications de $E$ dans $E$, même non linéaires) $\operatorname {im} v\circ u=v\circ u(E)=v\left(u(E)\right)\subset v(E)=\operatorname {im} v$.
2. D'après la question 1, il reste à démontrer que $\ker u\circ v\subset \ker v\Leftrightarrow \ker u\cap \operatorname {im} v\subset \{0\}$.
   $\ker u\cap \operatorname {im} v\subset \{0\}\Leftrightarrow \forall y\in \operatorname {im} v\quad \left(u(y)=0\Rightarrow y=0\right)\Leftrightarrow \forall x\in E\quad \left(u\left(v(x)\right)=0\Rightarrow v(x)=0\right)\Leftrightarrow \ker u\circ v\subset \ker v$.
3. D'après la question 1, il reste à démontrer que $\operatorname {im} v\subset \operatorname {im} v\circ u\Leftrightarrow E\subset \operatorname {im} u+\ker v$.
   $E\subset \operatorname {im} u+\ker v\Leftrightarrow \forall x\in E\quad \exists y\in \operatorname {im} u\quad v(x-y)=0\Leftrightarrow \forall x\in E\quad \exists z\in E\quad v\left(x-u(z)\right)=0\Leftrightarrow \forall x\in E\quad \exists z\in E\quad v(x)=v\circ u(z)\Leftrightarrow \operatorname {im} v\subset \operatorname {im} v\circ u$.

 

Exercice 2-4

Soit $\varphi \in \operatorname {L} (E)$. En utilisant parfois les résultats de l'exercice précédent, démontrer que :

1. la suite des noyaux des itérés de $\varphi$ est croissante et celle des images est décroissante : $\forall n\in \mathbb {N} \quad \ker \left(\varphi ^{n}\right)\subset \ker \left(\varphi ^{n+1}\right)\quad {\text{et}}\quad \operatorname {im} \left(\varphi ^{n}\right)\supset \operatorname {im} \left(\varphi ^{n+1}\right)$ ;
2. s'il existe au moins un $n$ tel que $\ker \left(\varphi ^{n}\right)=\ker \left(\varphi ^{n+1}\right)$ alors la suite des noyaux est strictement croissante jusqu'à un certain rang $p$, puis constante à partir de ce rang ;
3. s'il existe au moins un $n$ tel que $\operatorname {im} \left(\varphi ^{n}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{n+1}\right)$ alors la suite des images est strictement décroissante jusqu'à un certain rang $q$, puis constante à partir de ce rang ;
4. si les deux suites stationnent alors $E=\ker(\varphi ^{q})\oplus \operatorname {im} (\varphi ^{p})$ et $p=q$ ;
5. si $E$ est de dimension finie alors les deux suites stationnent et l'entier $p=q$ est au plus égal à $\dim(E)$ ;
6. si $E$ est de dimension infinie alors les deux sous-espaces $\cup _{n\in \mathbb {N} }\ker(\varphi ^{n})$ et $\cap _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {im} (\varphi ^{n})$ ne sont plus nécessairement supplémentaires.

Solution

1. Appliquer la question 1 de l'exercice précédent à $u=\varphi$ et $v=\varphi ^{n}$.
2. Soit $p$ le plus petit des entiers $n$ tels que $\ker \left(\varphi ^{n}\right)=\ker \left(\varphi ^{n+1}\right)$. Pour tout $n\geq p$, en prenant les images réciproques par $\varphi ^{n-p}$ des deux membres de l'égalité $\ker \left(\varphi ^{p}\right)=\ker \left(\varphi ^{p+1}\right)$, on obtient : $\ker \left(\varphi ^{n}\right)=\ker \left(\varphi ^{n+1}\right)$.
3. Soit $q$ le plus petit des entiers $n$ tels que $\operatorname {im} \left(\varphi ^{n}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{n+1}\right)$. Pour tout $n\geq q$, en prenant les images directes par $\varphi ^{n-q}$ des deux membres de l'égalité $\operatorname {im} \left(\varphi ^{q}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{q+1}\right)$, on obtient : $\operatorname {im} \left(\varphi ^{n}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{n+1}\right)$.
4. $\ker \left(\varphi ^{p+q}\right)=\ker \left(\varphi ^{p}\right)$ et $\operatorname {im} \left(\varphi ^{p+q}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{q}\right)$ donc d'après les questions 2 et 3 de l'exercice précédent :
   $(1)\quad \ker \left(\varphi ^{q}\right)\cap \operatorname {im} \left(\varphi ^{p}\right)=\{0\}$ et $(2)\quad E=\operatorname {im} \left(\varphi ^{p}\right)+\ker \left(\varphi ^{q}\right)$,
   autrement dit : $E=\ker(\varphi ^{q})\oplus \operatorname {im} (\varphi ^{p})$.
   • Si $p\geq q$, on déduit de $(1)$ que $\ker \left(\varphi ^{q}\right)\cap \operatorname {im} \left(\varphi ^{q}\right)=\{0\}$, c'est-à-dire $\ker \left(\varphi ^{2q}\right)=\ker \left(\varphi ^{q}\right)$, donc $p\leq q$.
   • Si $q\geq p$, on déduit de $(2)$ que $E=\operatorname {im} \left(\varphi ^{p}\right)+\ker \left(\varphi ^{p}\right)$, c'est-à-dire $\operatorname {im} \left(\varphi ^{2p}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{p}\right)$, donc $q\leq p$.

   Dans les deux cas, on peut donc conclure : $p=q$.

5. Si $E$ est de dimension finie $n$, on ne peut pas avoir $\{0\}\subsetneq \ker \left(\varphi \right)\subsetneq \ker \left(\varphi ^{2}\right)\subsetneq \dots \subsetneq \ker \left(\varphi ^{n+1}\right)$, car $\dim \left(\ker \left(\varphi ^{n+1}\right)\right)\leq n$. Donc la suite des noyaux stationne à partir d'un rang $p\leq n$. On démontre de même que la suite des images stationne à partir d'un rang $q\leq n$.
6. Considérons $E=\mathbb {R} [X]$ et $\varphi =$ la dérivation. Alors, $\cup _{n\in \mathbb {N} }\ker(\varphi ^{n})=\cap _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {im} (\varphi ^{n})=E$ (et seule la suite des images stationne). Ou encore : $\varphi =$ la multiplication par $X$. Alors, $\cup _{n\in \mathbb {N} }\ker(\varphi ^{n})=\cap _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {im} (\varphi ^{n})=\{0\}$ (et seule la suite des noyaux stationne).

 

Exercice 2-5

Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

${\begin{matrix}f_{1}:(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto (2x+y,ax-y)\in \mathbb {R} ^{2},&\qquad f_{2}:(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mapsto (xy,ax,y)\in \mathbb {R} ^{3},\\f_{3}:P\in \mathbb {R} [X]\mapsto aP'+P\in \mathbb {R} [X],&\qquad f_{4}:P\in \mathbb {R} _{3}[X]\mapsto P'\in \mathbb {R} _{2}[X],\\f_{5}:P\in \mathbb {R} _{3}[X]\mapsto (P(-1),P(0),P(1))\in \mathbb {R} ^{3},&\qquad f_{6}:P\in \mathbb {R} [X]\mapsto P-(X-2)P'\in \mathbb {R} [X],\\f_{7}:P\in \mathbb {R} _{n}[X]\mapsto P-{\frac {X}{2}}P'\in \mathbb {R} _{n}[X].\end{matrix}}$

Pour celles qui le sont, déterminer le noyau et l'image et en déduire si l'application est injective, surjective, bijective.

Solution

Toutes sont linéaires sauf $f_{2}$ (car $f_{2}(-1,-1,0)\neq -f_{2}(1,1,0)$).

Si $a=-2$, $\ker f_{1}=\mathbb {R} (1,-2)$, $\operatorname {im} f=\mathbb {R} (1,-1)$ et $f_{1}$ n'est ni injective, ni surjective.

Si $a\neq -2$, $f_{1}$ est bijective.

$f_{3}$ est bijective.

$f_{4}$ est surjective mais pas injective : son noyau est la droite des polynômes constants.

$f_{5}$ est surjective mais pas injective : son noyau est la droite engendrée par $X^{3}-X$.

$f_{6}$ n'est ni injective, ni surjective : son noyau est la droite engendrée par $X-2$ (on le trouve en résolvant une équation différentielle linéaire du premier ordre très simple) et son image est l'hyperplan des polynômes $Q$ tels que $Q'(2)=0$ (en effet, si $Q=P-(X-2)P'$ alors $Q'=-(X-2)P''$ s'annule en 2 et réciproquement, si $Q'(2)=0$ alors, soit $C$ un polynôme tel que $Q'=-(X-2)C'$ et soit $P=Q+(X-2)C$, on a $P'=C$ donc $Q=P-(X-2)P'$).

$f_{7}$ n'est ni injective, ni surjective (sauf si $n\leq 1$) : $f_{7}(X^{k})=(1-k/2)X^{k}$ donc $\ker f_{7}$ est la droite engendrée par $X^{2}$ et $\operatorname {im} f_{7}=\operatorname {Vect} (1,X,X^{3},\dots ,X^{n})$.

 

Exercice 2-6

Soit

$A={\begin{pmatrix}1&1&2\\0&2&2\\1&0&1\end{pmatrix}}$.

On note $f$ et ${}^{t}\!f$ les endomorphismes de $\mathbb {R} ^{3}$ de matrices respectives $A$ et ${}^{t}\!A$ dans la base canonique.

1. Montrer que $\operatorname {rang} (A)=\operatorname {rang} ({}^{t}\!A)=2$ et calculer une base $(u_{1},u_{2})$ de $\operatorname {im} ({}^{t}\!f)$.
2. Montrer que $\ker({}^{t}\!f)$ est engendré par le vecteur $v=(-2,1,2)$.
3. Montrer que $\mathbb {R} ^{3}=\operatorname {im} (f)\oplus \ker({}^{t}\!f)$.

Solution

1. $\operatorname {im} ({}^{t}\!f)=\operatorname {Vect} (u_{1},u_{2},u_{3})$ avec $u_{1}=(1,0,1)$, $u_{2}=(0,1,1)$ et $u_{3}=(1,1,2)=u_{1}+u_{2}$. Comme $u_{1}$ et $u_{2}$ ne sont pas colinéaires, ils forment donc une base de $\operatorname {im} ({}^{t}\!f)$, si bien que $\operatorname {rang} (A)=\operatorname {rang} ({}^{t}\!A)=2$.
2. $\ker({}^{t}\!f)=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x+z=x+2y=2x+2y+z=0\}=\{(-2y,y,2y)\mid y\in \mathbb {R} \}$.
3. $\operatorname {im} (f)=\operatorname {Vect} (v_{1},v_{2})$ avec $v_{1}=(1,0,1)$ et $v_{2}=(1,2,0)$, et $\det(v_{1},v_{2},v)={\begin{vmatrix}1&1&-2\\0&2&1\\1&0&2\end{vmatrix}}=9\neq 0$.

 

Exercice 2-7

Soit l'application

$f:K^{3}\to K^{3},\;(x,y,z)\mapsto (x+2y+3z,-x+4y-4z,-6y+z)$.

1. Montrer que $f$ est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique.
2. Calculer son noyau et en déduire son rang.
3. Est-elle injective ? surjective ?

Solution

1. $f{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ avec $A={\begin{pmatrix}1&2&3\\-1&4&-4\\0&-6&1\end{pmatrix}}$ donc $f$ est linéaire, de matrice $A$ dans la base canonique.
2. $\ker f=\operatorname {Vect} ((-20,1,6))$ donc $\operatorname {rang} (f)=3-1=2$.
3. $f$ n'est donc ni injective, ni surjective.

 

Exercice 2-8

Donner une base du noyau de chacune des applications linéaires $f:E\to F$ suivantes.

1. $E=K^{2}$, $F=K$, $f(x,y)=x-y$.
2. $E=K^{3}$, $F=K$, $f(x,y,z)=x+2y-z$.
3. $a\in K$, $E=K^{4}$, $F=K^{3}$, $f{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a-1&-a+1&a&a-1\\-a+6&a-2&-a+4&-a+2\\a-5&-a+2&a-3&a-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}}$.

Solution

1. $\left((1,1)\right)$.
2. $\left((1,0,1),(0,1,2)\right)$.
3. $f{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\Leftrightarrow {\begin{cases}(a-1)x+(-a+1)y+az+(a-1)t&=0\\5x-y+4z+t&=0\\4x-y+3z+t&=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}y&=4x+3z+t\\x+z&=0\\(a-1)x+(-a+1)y+az+(a-1)t&=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=-x\\y&=x+t\\ax&=0\end{cases}}$.
   • Si $a=0$, $\ker f$ est le plan de base $\left((1,1,-1,0),(0,1,0,1)\right)$.
   • Si $a\neq 0$, $\ker f$ est la droite de base $\left((0,1,0,1)\right)$.

 

Donner une base de l'image de chacune des applications linéaires $f:E\to F$ suivantes.

1. $E=\mathbb {R}$, $F=\mathbb {R} ^{2}$, $f(x)=(3x,-3x)$.
2. $E=\mathbb {R} ^{2}$, $F=\mathbb {R} ^{3}$, $f(x,y)=(x+2y,3x+2y)$.
3. $E=F=K^{3}$, $a\in K$, $f{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-a+2&-3&-1\\-a+1&-1&0\\1&-3&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$.

Solution

1. $\left((1,-1)\right)$.
2. $\left((1,3),(1,1)\right)$.
3. Une famille génératrice de $\operatorname {im} f$ est $\left({\begin{pmatrix}-a+2\\-a+1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-3\\-1\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}}\right)$, ou (en remplaçant la deuxième colonne $C_{2}$ par $C_{3}-C_{2}$) $\left({\begin{pmatrix}-a+2\\-a+1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}}\right)$, ou (en remplaçant la première colonne $C_{1}$ par $C_{1}-C_{2}$) $\left({\begin{pmatrix}-a\\-a\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}}\right)$.
   • Si $a=0$, $\operatorname {im} f$ est le plan de base $\left({\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}}\right)$.
   • Si $a\neq 0$, $\operatorname {im} f$ a pour base $\left({\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}}\right)$ donc est égal à $K^{3}$ tout entier.

 

Exercice 2-9

Soient $m\in \mathbb {R}$ et $M_{m}={\begin{pmatrix}1&-m&m^{2}\\m&-m^{2}&m\\m&1&-m^{2}\end{pmatrix}}$.

1. Calculer le déterminant de $M_{m}$.
2. Déterminer les valeurs du réel $m$ pour lesquelles la matrice $M_{m}$ est inversible.

   On considère l'endomorphisme $f_{m}$ de $\mathbb {R} ^{3}$ dont la matrice dans la base canonique est $M_{m}$, et l'on pose $F_{m}=\operatorname {Vect} \left((2m,2m,1-m)\right)$.

3. Pour quelles valeurs de $m$ l'application $f_{m}$ est-elle bijective ?
4. Déterminer l'image et le noyau de $f_{1}$. Déterminer $\operatorname {im} (f_{1})\cap F_{1}$.
5. Montrer que $\operatorname {im} (f_{-1})\oplus F_{-1}=\mathbb {R} ^{3}$.

Solution

1. $\det(M_{m})=m(m^{4}-1)$.
2. $M_{m}$ est donc inversible pour tout réel $m$ différent de $0$, $1$ et $-1$.
3. $f_{m}$ est donc bijective pour tout réel $m$ différent de $0$, $1$ et $-1$.
4. $\operatorname {im} (f_{1})$ a pour base $\left({\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}}\right)$. C'est donc le plan d'équation $x=y$.
   Il contient la droite $F_{1}$ donc l'intersection est $F_{1}$. $\ker f_{1}$ est la droite
5. $\operatorname {im} (f_{-1})$ a pour base $\left({\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}\right)$. C'est donc le plan d'équation $y=-x$.
   $\operatorname {im} (f_{-1})\cap F_{-1}=\{{\vec {0}}\}$ et $\dim \operatorname {im} (f_{-1})+\dim F_{-1}=2+1=\dim \mathbb {R} ^{3}$ donc $\operatorname {im} (f_{-1})$ et $F_{-1}$ sont supplémentaires dans $\mathbb {R} ^{3}$.

Voir aussi Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre#Exercice 2-1.

 

Exercice 2-10

Soit $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} )$ une matrice non scalaire.

1. Montrer que l'application $f:\mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} )\to \mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} ),\;A\mapsto AM-MA$ est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique

   $\left(e_{1}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},e_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},e_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},e_{4}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\right)$.

2. Montrer que $A\in \ker f$. Sans calcul, donner une autre matrice de $\ker f$, non proportionnelle à $A$.
3. Chercher $\ker f,\mathrm {im} f$, et montrer que si $(a-d)^{2}+4bc\neq 0$ alors $\mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} )=\ker f\oplus \mathrm {im} f$.
4. Que vaut $\mathrm {Tr} (f(A))$ ?

Solution

1. $f{\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}}=(x-t)(be_{2}-ce_{3})+y(c(e_{1}-e_{4})+(d-a)e_{2})+z(b(e_{4}-e_{1})+(a-d)e_{3})$
   donc $f$ est linéaire et sa matrice dans $e$ est ${\begin{pmatrix}0&c&-b&0\\b&d-a&0&-b\\-c&0&a-d&c\\0&-c&b&0\end{pmatrix}}$.
2. $f(A)=A^{2}-A^{2}=0$ et $f(\mathrm {I} _{2})=A-A=0$.
3. (On pourrait aussi exploiter la question 2 et/ou le théorème du rang, pour répondre plus facilement à la 3.)
   • $\ker f=\{{\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}}\mid cy-bz=0,b(x-t)+(d-a)y=0,c(x-t)+(d-a)z=0\}$, or $(a-d)[cy-bz]+c[b(x-t)+(d-a)y]-b[c(x-t)+(d-a)z]=0$ donc $\ker f=$ le plan d'équations
     • si $c\neq 0$ : $y=bz/c,t=x+(d-a)z/c$,
     • si $b\neq 0$ : $z=cy/b,t=x+(d-a)y/b=0$,
     • si $d\neq a$ : $y=b(x-t)/(a-d),z=c(x-t)/(a-d)$.
   • $\mathrm {im} f=\mathrm {Vect} (f(e_{1}),f(e_{2}),f(e_{3}))$ (car $f(e_{4})=-f(e_{1})$, or $(a-d)f(e_{1})+bf(e_{2})+cf(e_{3})=f(M)=0$, donc $\mathrm {im} f=$
     • si $c\neq 0$ : $\mathrm {Vect} (f(e_{1}),f(e_{2}))$,
     • si $b\neq 0$ : $\mathrm {Vect} (f(e_{1}),f(e_{3}))$,
     • si $d\neq a$ : $\mathrm {Vect} (f(e_{2}),f(e_{3}))$.
       Dans les trois cas, on trouve que $\mathrm {im} f$ est le plan d'équations $t=-x,(a-d)x+cy+bz=0$.
   • $\mathrm {im} f\cap \ker f=$ a pour équations
     • si $c\neq 0$ : $y=bz/c,-t=x=(a-d)z/(2c),z[(a-d)^{2}+4bc]=0$,
     • si $b\neq 0$ : $z=cy/b,-t=x=(a-d)y/(2b),y[(a-d)^{2}+4bc]=0$,
     • si $d\neq a$ : $y=2bx/(a-d),z=2cx/(a-d),t=-x,x[(a-d)^{2}+4bc]=0$.
       Dans les trois cas, on en déduit que les plans $\mathrm {im} f$ et $\ker f$ sont d'intersection nulle, donc supplémentaires dans $\mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} )$.
4. $\mathrm {Tr} (f(A))=\mathrm {Tr} (AM)-\mathrm {Tr} (MA)=0$ (on peut aussi utiliser la première équation $t=-x$ de $\mathrm {im} f$).

 

Exercice 2-11

On considère l'application linéaire $f:K^{3}\to K^{3}$ définie par $f(x,y,z)=(5x+2y+z,4x+y+2z,x-y+3z)$, pour tout triplet $(x,y,z)\in K^{3}$.

1. Écrire la matrice $[f]_{\mathcal {C}}^{\mathcal {C}}$ de $f$ dans la base canonique ${\mathcal {C}}=(e_{1},e_{2},e_{3})$ de $K^{3}$.
2. Calculer le noyau de $f$. Donner une base de ce s.e.v.
3. Calculer l'image de $f$. Donner une base de ce s.e.v.
4. L'application $f$ est-elle injective ? surjective ?

Solution

1. $[f]_{\mathcal {C}}^{\mathcal {C}}={\begin{pmatrix}5&2&1\\4&1&2\\1&-1&3\end{pmatrix}}$.
2. En résolvant le système homogène associé, on trouve $\ker f=\operatorname {Vect} \{(1,-2,-1)\}$.
3. D'après la question précédente, les colonnes de $[f]_{\mathcal {C}}^{\mathcal {C}}$ vérifient : $C_{1}=2C_{2}+C_{3}$. Donc $\operatorname {im} f=\operatorname {Vect} \{C_{2},C_{3}\}=\operatorname {Vect} \{(2,1,-1),(1,2,3)\}$ et ces deux vecteurs sont non colinéaires donc forment une base de $\operatorname {im} f$ (un autre argument pour conclure est d'invoquer le théorème du rang).
4. Non, non.