Matrice/Déterminant

Une page de Wikiversité.

**Déterminant**
Leçon : Matrice

Chapitre 5
Chap. préc. :	Produit matriciel
Chap. suiv. :	Trace

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Matrice : Déterminant
Matrice/Déterminant », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Soit une matrice A=(a_ij) carrée d’ordre n à coefficients réels. Les vecteurs colonnes de la matrice peuvent être identifiés à des éléments de l'espace vectoriel $\mathbb{R}^n$ . Ce dernier est muni d'une base canonique.

Il est alors possible de définir le déterminant de la matrice A comme le déterminant du système de ses vecteurs colonnes relativement à la base canonique. Il est noté det(A) puisqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la base de référence.

Par définition même, le déterminant dépend de façon linéaire de chaque colonne, et est nul lorsque deux colonnes sont égales. Le déterminant de la matrice identité vaut un. Enfin il vérifie la formule de Leibniz

$\det(A)=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{ \sigma(i),i}$

Ce déterminant se note fréquemment avec des barres verticales :

$\det \begin{bmatrix} m_{1;1} & \cdots & m_{1;n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n;1} & \cdots & m_{n;n} \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} m_{1;1} & \cdots & m_{1;n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n;1} & \cdots & m_{n;n} \end{vmatrix}$

La présentation matricielle apporte une propriété essentielle : une matrice a même déterminant que sa transposée.

$\det A = \det \left({}^t{A}\right)\,$

Ce qui signifie que le déterminant de A se voit aussi comme le déterminant du système des vecteurs lignes, relativement à la base canonique.

Formule du déterminant de la transposée

En appliquant la formule de Leibniz à la transposée

$\det({}^t A)=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$

On effectue un changement d'indice en posant $j = σ(i)$ . Par bijectivité de $σ$ , cela conduit à

$\det({}^t A)=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n a_{\sigma^{-1}(j),j}$

Une deuxième réindexation s'impose : prendre $τ = σ - 1$ . L'application qui à $σ$ associe son inverse est une bijection de $\mathfrak{S}_n$ , on peut donc effectuer ce changement d'indice et ainsi

$\det({}^t A)=\sum_{\tau \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\tau^{-1}) \prod_{j=1}^n a_{\tau(j),j} =\sum_{\tau \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\tau) \prod_{j=1}^n a_{\tau(j),j}=\det A$

Matrice

Produit_matriciel

Trace

Matrice/Déterminant

Une page de Wikiversité.

Affichages

Outils personnels

Rechercher

Navigation

Contribuer

Imprimer / exporter

Boîte à outils