Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre

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Équation différentielle linéaire du premier ordre
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Chapitre no4
Leçon : Équation différentielle
Chap. préc. : Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b
Chap. suiv. : Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

Exercices :

Équation différentielle linéaire du premier ordre
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Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre
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Équations différentielles linéaire du premier ordre[modifier | modifier le wikitexte]


Solutions d'une E.D.L[modifier | modifier le wikitexte]


Équation homogène associée[modifier | modifier le wikitexte]


Exemple[modifier | modifier le wikitexte]

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Préciser les valeurs de \quad a(x), \quad b(x) et \quad c(x) dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée.

  • xf'(x)-3f(x)=\sin x\,

Préciser les valeurs de \quad a(t), \quad b(t) et \quad c(t) dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée, sachant que la variable est \quad t et que la fonction inconnue est notée \quad y.

  • t^2y'(t)-3y(t)=\sin(t)\,

Espaces vectoriels[modifier | modifier le wikitexte]

La linéarité d'une équation différentielle a des conséquences importantes facilitant la recherche de solutions.


  • Les solutions d'une équation différentielle linéaire homogène forment un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions. Dans le cas d'une équation d'ordre 1, ce sous-espace est de dimension 1.
  • Les solutions d'une équation différentielle linéaire forment un sous-espace affine de l'espace affine des fonctions. Dans le cas d'une équation d'ordre 1, cet espace est de dimension 1.


Ces considérations géométriques donnent le théorème suivant, très important dans la résolution en pratique.


Début d'un théorème
Fin du théorème


La condition initiale[modifier | modifier le wikitexte]

  • L'ensemble des solutions d'une E.D.L. du premier ordre étant un espace vectoriel de dimension 1,
le fait de fixer une seule valeur de la fonction solution suffit à la définir parfaitement.
  • Le sens physique de cette remarque est très intuitif :
un système physique régi par une équation différentielle du premier ordre voit son état déterminé par un seul nombre \quad f(x) qui dépend de la variable \quad x (en général le temps),
la connaissance de cet état à un instant donné (disons l'instant \quad t=0 par exemple) détermine l'état du système à tout instant.

C'est ce qu'on appelle la condition initiale.


Début d'un théorème
Fin du théorème


Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants[modifier | modifier le wikitexte]


Solutions de l'équation homogène[modifier | modifier le wikitexte]

Début d'un théorème
Fin du théorème


Solutions de l'équation complète[modifier | modifier le wikitexte]

Début d'un théorème
Fin du théorème


Exemples[modifier | modifier le wikitexte]

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Remarque : Dans les exemples, la fonction \quad f est souvent nommée \quad y, en omettant la variable \quad x.

Résoudre les équations suivantes.

  • y' = y \,
  • y' = -2y \,
  • y' -2y =3\,
  • 5y' -2y =3\,

Exemples avec condition initiale[modifier | modifier le wikitexte]

Résoudre les équations suivantes.

  • y' = y \, ; y(0)=1\,
  • y' = -2y \, ; y(1)=3\,
  • y' -2y =3\, ; y(0)=3\,
  • 5y' -2y =3\, ; y(-2)=3\,

Exemple en physique : Vitesse terminale[modifier | modifier le wikitexte]

Considérons un objet de masse m en chute libre.

Les forces en présence sont, en projection sur l'axe vertical orienté vers le bas :

  • Le poids : P = ...\,
  • Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse v,

Le coefficient de frottement est noté h, donc

F = ...\,


Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

...=...\,

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

En supposant que l'objet est lâché sans vitesse initiale,

l'objectif est de donner la solution v(t)\,

exprimant la vitesse du corps en fonction du temps t.

Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :

...= 0\,

La solution est, d'après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :

v(t) = ...\,

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, c'est-à-dire v(0) = ...\,.

Cela donne pour la solution générale :

...=...\,

La solution finale au problème est donc :

v(t)=...\,

Application numérique : Tracer v en fonction de t pour :

  • m=0,00416\,
  • h=3,4\times 10^{-6}\,
  • g=9,81\,

Remarques[modifier | modifier le wikitexte]

Il est intéressant de remarquer la stabilité des systèmes décrits par de telles équations. En effet, si a et b sont réels de même signe, il existe toujours un régime de stabilité lorsque \scriptstyle t \to \infty. Si a et b sont réels de signe opposé, le système est instable et la solution tend exponentiellement vers \scriptstyle \pm \infty.

Cas général : Équations à coefficients variables[modifier | modifier le wikitexte]

Équation homogène associée[modifier | modifier le wikitexte]



Début d'un théorème
Fin du théorème



Équation complète[modifier | modifier le wikitexte]

Début d'un théorème
Fin du théorème




Remarques[modifier | modifier le wikitexte]

  • On retrouve le cas des coefficients constants avec ce formalisme.
  • La solution générale, très difficile à lire, se révèle parfois également difficile à utiliser. En effet, il n'est pas toujours aisé d'intégrer les rapports obtenus. En revanche une intégration numérique efficace est souvent envisageable, ce qui permet des résolutions numériques fiables.

Exemples[modifier | modifier le wikitexte]

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Résoudre les équations suivantes.

  • xy' -4y=0\, sur ]0;+\infty[
  • x^2y'+y=0 \, sur ]0;+\infty[
  • xy' -2y =3x^2\, sur ]0;+\infty[
  • 5x^2y' -2y =3x\, sur ]0;+\infty[

Exemple en physique[modifier | modifier le wikitexte]

Considérons le cas d'un mobile de masse variable supposée connue et unité à l'origine

(comme un mobile qui brûlerait du carburant et s'allégerait),

soumis à une force sinusoïdale.

Le principe fondamental de la dynamique donne :

\dot p = F_0 \sin(\omega_0 t)

Déterminer v en fonction de t.


Équation différentielle
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