Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre

Une page de Wikiversité.


Équation différentielle linéaire du premier ordre
Nuvola apps edu mathematics-p.svg
Chapitre 4
Leçon : Équation différentielle
Chap. préc. : Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b
Chap. suiv. : Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants


Icon falscher Titel.svg

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Équation différentielle : Équation différentielle linéaire du premier ordre
Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Équations différentielles linéaire du premier ordre

Définition

Soient \quad a, \quad b et \quad c trois fonctions de la variable réelle \quad x, \quad a ne s'annulant pas.

Soit \quad f une fonction de \scriptstyle \mathbb R dans \scriptstyle \mathbb C dérivable.

Une équation différentielle linéaire d'ordre un est alors une relation de la forme :

(E): \forall x \in \mathbb R, \quad a\left(x \right) f'\left(x\right) + b\left( x \right) f\left(x\right) = c\left(x\right)

[modifier] Solutions d'une E.D.L

Définition

On appelle solution de l'équation différentielle toute fonction dérivable vérifiant la relation concernée.

[modifier] Équation homogène associée

Définition

L’équation différentielle linéaire homogène d'ordre un associée à l'équation \quad (E) est :

(E_0):\forall x \in \mathbb R, \quad a\left(x\right) f'\left(x\right) + b\left(x\right)f\left(x\right) = 0

[modifier] Exemple

Nuvola apps edu mathematics-p.svg Voir les exercices sur : Équation différentielle linéaire du premier ordre.

Préciser les valeurs de \quad a(x), \quad b(x) et \quad c(x) dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée.

  • xf'(x)-3f(x)=\sin x\,
Solution

a(x)=x\,

b(x)=-3\,

c(x)=\sin(x)\,

Équation homogène associée : xf'(x)-3f(x)=0\,

Préciser les valeurs de \quad a(t), \quad b(t) et \quad c(t) dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée, sachant que la variable est \quad t et que la fonction inconnue est notée \quad y.

  • t^2y'(t)-3y(t)=\sin(t)\,
Solution

a(t)=t^2\,

b(t)=-3\,

c(t)=\sin(t)\,

Équation homogène associée : t^2y'(t)-3y(t)=0\,

[modifier] Espaces vectoriels

La linéarité d'une équation différentielle à des conséquences importantes facilitant la recherche de solutions.


  • Les solutions d'une équation différentielle linéaire homogène forment un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions. Dans le cas d'une équation d'ordre 1, ce sous-espace est de dimension 1.
  • Les solutions d'une équation différentielle linéaire forment un sous-espace affine de l'espace affine des fonctions. Dans le cas d'une équation d'ordre 1, cet espace est de dimension 1.


Ces considérations géométriques donnent le théorème suivant, très important dans la résolution en pratique.


Théorème

Les solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre un sont la somme d'une solution à l'équation homogène associée et d'une solution particulière de l'équation complète.

[modifier] La condition initiale

  • L'ensemble des solutions d'une E.D.L. du premier ordre étant un espace vectoriel de dimension 1,
le fait de fixer une seule valeur de la fonction solution suffit à la définir parfaitement.
  • Le sens physique de cette remarque est très intuitif :
un système physique régit par une équation différentielle du premier ordre voit son état déterminé par une seul nombre \quad f(x) qui dépend de la variable \quad x (en général le temps),
la connaissance de cet état à un instant donné (disons l'instant \quad t=0 par exemple) détermine l'état du système à tout instant.

C'est ce qu'on appelle la condition initiale.


Théorème de Cauchy

Deux nombres \quad x_0 et \quad y_0 étant donnés, il existe une unique solution à une équation différentielle linéaire d'ordre un vérifiant \quad f(x_0) = y_0.

[modifier] Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants

Définition
  • Soient \quad a, \quad b et \quad c trois nombres complexes, \quad a étant non-nul. Soit \quad f une fonction de \scriptstyle \mathbb R dans \scriptstyle \mathbb C dérivable. Une équation différentielle ordinaire linéaire d'ordre un à coefficients constants est alors une relation de la forme :
\forall x \in \mathbb R, \quad af'\left(x\right) + bf\left(x\right) = c
  • L’équation différentielle ordinaire linéaire homogène d'ordre un à coefficients constants associée à cette dernière est :
\forall x \in \mathbb R, \quad af'\left(x\right) + bf\left(x\right) = 0

[modifier] Solutions de l'équation homogène

Théorème
  • L'ensemble des solutions de l'équation homogène est : S = \left\{ Ae^{-\frac{b}{a}x} \, | \,A \in \mathbb C \right\}.

[modifier] Solutions de l'équation complète

Théorème
  • L'ensemble des solutions de l'équation complète est : S = \left \{ Ae^{-\frac{b}{a}x} + \frac{c}{b} \, | \,A \in \mathbb C \right \}.

[modifier] Exemples

Nuvola apps edu mathematics-p.svg Voir les exercices sur : Équation différentielle linéaire du premier ordre.

Remarque : Dans les exemples, la fonction \quad f est souvent nommée \quad y, en omettant la variable \quad x.

Résoudre les équations suivantes.

  • y' = y \,
  • y' = -2y \,
  • y' -2y =3\,
  • 5y' -2y =3\,

[modifier] Exemples avec condition initiale

Résoudre les équations suivantes.

  • y' = y \, ; y(0)=1\,
  • y' = -2y \, ; y(1)=3\,
  • y' -2y =3\, ; y(0)=3\,
  • 5y' -2y =3\, ; y(-2)=3\,

[modifier] Exemple en physique : Vitesse terminale

Considérons un objet de masse m en chute libre.

Les forces en présence sont, en projection sur l'axe vertical orienté vers le bas :

  • Le poids  : P = ...\,
  • Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse v,

Le coefficient de frottement est noté h, donc

F = ...\,


Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

...=...\,

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

Solution
  • Le poids  : P = m\times g\,
  • Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse v, le coefficient de frottement est noté h, donc
F = -h\times v\,


Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

mv' = -hv + mg \,

En supposant que l'objet est laché sans vitesse initiale,

l'objectif est de donner la solution v(t)\,

exprimant la vitesse du corps en fonction du temps t.

Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :

...= 0\,

La solution est, d'après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :

v(t) = ...\,

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, c'est-à-dire v(0) = ...\,.

Cela donne pour la solution générale :

...=...\,

La solution finale au problème est donc :

v(t)=...\,
Solution

Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :

v' + \frac{h}{m}v - g = 0

La solution est, d'après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :

v = Ae^{-\frac{h}{m}t} + \frac{gm}{h}

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, ce qui fixe le paramètre A, qui doit alors vérifier :

0 = A + \frac{gm}{h}

La solution finale au problème est donc :

v \left( t \right) = \frac{gm}{h} \left( 1 - e^{-\frac{h}{m}t} \right)

Application numérique : Tracer v en fonction de t pour :

  • m=0,00416\,
  • h=3,4\times 10^{-6}\,
  • g=9,81\,

[modifier] Remarques

Il est intéressant de remarquer la stabilité des systèmes décrits par de telles équations. En effet, si a et b sont réels de même signe, il existe toujours un régime de stabilité lorsque \scriptstyle t \to \infty. Si a et b sont réels de signe opposé, le système est instable et la solution tend exponentiellement vers \scriptstyle \pm \infty.

[modifier] Cas général : Équations à coefficients variables

[modifier] Équation homogène associée

Définition

L’équation différentielle linéaire homogène d'ordre un associée à l'équation (E) est :

(E_0)\forall x \in \mathbb R, \quad a\left(x\right) f'\left(x\right) + b\left(x\right)f\left(x\right) = 0



Solutions de l'équation homogène

L'ensemble des solutions de l'équation différentielle homogène d'ordre un est :

S_0 = \left\{ A e^{-\Phi \left(x \right)} | A \in \mathbb C\right\}

où :Φ est une primitive de : x \mapsto \frac{b(x)}{a(x)} \,.
Démonstration

La fonction a ne s'annulant pas, on peut librement redéfinir b et c pour avoir un coefficient 1 devant la dérivée de f. Considérons par ailleurs l'équation homogène dans un premier temps. On cherche donc à résoudre :

f' + \frac{b(x)}{a(x)}f = 0

Soit Φ une primitive de la fonction \frac{b}{a}, par exemple :

\Phi = \int_{x_0}^{x} \frac{b(t)}{a(t)} \, \mathrm dt

où x₀ est un réel que l'on fixe (par exemple 0).

Alors la dérivée de \phi : x\mapsto e^{- \Phi(x)} est

\phi'(x) = -\Phi'(x) e^{-\Phi(x)} = -\frac{b(x)}{a(x)} \phi(x)

On a ainsi l'ensemble des solutions à l'équation homogène.

[modifier] Équation complète

Solution complète de l'équation différentielle

L'ensemble des solutions générales de l'équation différentielle d'ordre un est :

S = \left \{ \left[ A + \int_{x_0}^{x} \frac{c\left(s\right)}{a\left(s\right)} e^{+\Phi\left(s\right)}\, \mathrm ds \right] \cdot e^{- \Phi \left( x \right)} \, | \, A \in \mathbb C \right \}

Avec

\Phi : x \mapsto \int_{x_0}^{x} \frac{b(t)}{a(t)} \, \mathrm dt.


Démonstration

Pour terminer la résolution, employons la méthode de « variation de la constante », qui consiste à rechercher des solutions particulières de la forme :

f\left(x\right) = A \left(x \right) \phi\left(x\right)

On a donc, en dérivant :

f' = A' \phi + A \phi'\,

Réinjectons cela dans l'équation différentielle :

f' + \frac{b}{a}f = A' \phi + A \phi' + \frac{b}{a} A \phi = A' \phi + \left( \phi' + \frac{b}{a} \phi \right) A = A' \phi = -\frac{c}{a}

Ce qui donne directement :

A' = \frac{c}{a \phi} = \frac{c}{a}e^{+\Phi}

Donc :

A\left(x\right) = \int_{x_0}^{x} \frac{c\left(s\right)}{a\left(s\right)} e^{+\Phi\left(s\right)}\, \mathrm ds

On a ainsi une solution particulière. Finalement, nous avons résolu complètement l'équation différentielle.

[modifier] Remarques

  • On retrouve le cas des coefficients constants avec ce formalisme.
  • La solution générale, très difficile à lire, se révèle parfois également difficile à utiliser. En effet, il n'est pas toujours aisé d'intégrer les rapports obtenus. En revanche une intégration numérique efficace est souvent envisageable, ce qui permet des résolutions numériques fiables.

[modifier] Exemples

Nuvola apps edu mathematics-p.svg Voir les exercices sur : Équation différentielle linéaire du premier ordre.

Résoudre les équations suivantes.

  • xy' -4y=0\, sur ]0;+\infty[
  • x^2y'+y=0 \, sur ]0;+\infty[
  • xy' -2y =3x^2\, sur ]0;+\infty[
  • 5x^2y' -2y =3x\, sur ]0;+\infty[

[modifier] Exemple en physique

Considérons le cas d'un mobile de masse variable supposée connue et unité à l'origine

(comme un mobile qui brûlerait du carburant et s'allégerait),

soumis à une force sinusoïdale.

Le principe fondamental de la dynamique donne :

\dot p = F_0 \sin(\omega_0 t)

Déterminer v en fonction de t.

Solution

On a ainsi l'équation :

m(t)v'(t) + v(t)m'(t) = F_0 \sin(\omega_0 t)\,


Posons le problème sous la forme canonique :

v'(t) + \frac{m'(t)}{m(t)}v(t) - \frac{F_0}{m(t)} \sin(\omega_0 t) = 0

Les solutions sont, d'après la formule générale, de la forme :

v(t) = \left[ A + \int_{0}^{t} \frac{F_0}{m(s)} \sin(\omega_0 s) e^{+\Phi\left(s\right)}\, \mathrm ds \right] \cdot e^{- \Phi \left( t \right)}

Avec

\Phi : t \mapsto \int_{0}^{t} \frac{m'(s)}{m(s)} \, \mathrm ds = \ln m(t).

Donc :

v(t) = - Am(t) - F_0 \int_{0}^{t} \sin(\omega_0 s) m(s)\, \mathrm ds

On note v₀ la vitesse à l'origine des temps, alors, trivialement, A = -v₀. Pour conserver l'homogénéité, indiquons toutefois la masse m₀ = 1. La solution est donc :

v(t) = \frac{m(t)}{m_0}v_0 - F_0 \int_{0}^{t} \sin(\omega_0 s) m(s)\, \mathrm ds

Sans préciser m davantage, on ne peut pas en dire plus — mais c'est déjà beaucoup. Celle-ci connue, une intégration par parties suffira probablement à déterminer complètement v.

Crystal Clear action back.png Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b
Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle_lin%C3%A9aire_du_premier_ordre »