Application linéaire/Exercices/Noyau et image

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Noyau et image
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Exercices no2
Leçon : Application linéaire
Chapitre du cours : Définitions

Cet exercice est de niveau 14.

Exo préc. : Application directe
Exo suiv. : Endomorphismes
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Application linéaire/Exercices/Noyau et image
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Soit E un \mathbb K-espace vectoriel.

Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient u et v deux endomorphismes de E tels que v\circ u=0.

Montrer que \mathrm{Im}(u)\subset\mathrm{Ker}(v).

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit u un endomorphisme de E.

1. Montrer que \mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)\Leftrightarrow\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}

2. Montrer que \mathrm{Im}(u)=\mathrm{Im}(u^2)\Leftrightarrow E=\mathrm{Im}(u)+\mathrm{Ker}(u)


Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soit (u,v,w)\in\mathcal L(E)^3 tel que u\circ v=w~,~v\circ w=u~,~w\circ u=v.

Montrer que ces trois endomorphismes ont même noyau et même image.


Application linéaire
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