Équation du quatrième degré/Résolutions trigonométriques

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À la différence des équations du troisième degré, les résolutions trigonométriques décrites dans ce chapitre ne permettent pas de résoudre toutes les équations du quatrième degré. Elles permettent de résoudre seulement certaines équations vérifiant des conditions bien précises. Ce chapitre peut donc, à ce titre, être considéré comme une extension du chapitre sur les méthodes particulières.

Résolution trigonométrique en cosinus et sinus

Soit à résoudre l'équation bicarrée :

$z^{4}+pz^{2}+r=0$

(nous avons déjà vu à quelle condition une équation du quatrième degré se ramène à une équation de cette forme).

Premier cas : si p < 0 et 0 < 4r < p²

En faisant alors le changement de variable :

$z={\sqrt {-p}}\;\cos \theta$,

nous obtenons l'équation :

$8\cos ^{4}\theta -8\cos ^{2}\theta +1={\frac {p^{2}-8r}{p^{2}}}$.

Au premier membre, nous reconnaissons un développement de cos(4θ). Nous arrivons donc à :

$\cos(4\theta )={\frac {p^{2}-8r}{p^{2}}}$

et nous sommes ramenés à la résolution d'une équation trigonométrique simple.

À titre d'exemple, consulter l'exercice 8-1.

Deuxième cas : si p < 0 et r < 0

En faisant alors le changement de variable :

$z=\pm {\sqrt {-p}}\;\cosh \theta$,

nous obtenons l'équation :

$8\cosh ^{4}\theta -8\cosh ^{2}\theta +1={\frac {p^{2}-8r}{p^{2}}}$.

Au premier membre, nous reconnaissons un développement de cosh(4θ). Nous arrivons donc à :

$\cosh(4\theta )={\frac {p^{2}-8r}{p^{2}}}$

et nous sommes ramenés à la résolution d'une équation trigonométrique simple.

À titre d'exemple, consulter l'exercice 8-2.

Troisième cas : si p > 0 et r < 0

En faisant alors le changement de variable :

$z=\pm {\sqrt {p}}\;\sinh \theta$,

nous obtenons l'équation :

$8\sinh ^{4}\theta -8\sinh ^{2}\theta +1={\frac {p^{2}-8r}{p^{2}}}$.

Au premier membre, nous reconnaissons un développement de cosh(4θ). Nous arrivons donc à :

$\cosh(4\theta )={\frac {p^{2}-8r}{p^{2}}}$

et nous sommes ramenés à la résolution d'une équation trigonométrique simple.

À titre d'exemple, consulter l'exercice 8-3.

Résolution trigonométrique en tangente

Soit à résoudre l'équation :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$.

Cette équation pourra être résolue par la méthode trigonométrique en tangente si et seulement si :

$\Psi =2c^{3}+27ad^{2}+27b^{2}e-9bcd-72ace=0$ et $3b^{2}-8ac\neq 0$.

Si ces conditions ne sont pas vérifiées, il est inutile de poursuivre car ce qui suit serait inexact.

En posant alors :

$x=z-{\frac {bc-6ad}{3b^{2}-8ac}}$,

nous obtenons une équation de la forme :

$tz^{4}+rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0$.

Cette dernière équation vérifie la condition rs – 6tp = 0 et ceci est la condition essentielle pour pouvoir appliquer la méthode de résolution en tangente.

Premier cas : si p et r ont des signes différents

Posons :

$z={\sqrt {-{\frac {p}{r}}}}\;\tan \theta$.

Nous obtenons alors l'équation :

${\frac {4\tan \theta -4\tan ^{3}\theta }{1-6\tan ^{2}\theta +\tan ^{4}\theta }}=-{\frac {4q}{p}}{\sqrt {-{\frac {r}{p}}}}$.

Au premier membre, nous reconnaissons un développement de tan(4θ). Nous arrivons donc à :

$\tan(4\theta )=-{\frac {4q}{p}}\;{\sqrt {-{\frac {r}{p}}}}$

et nous sommes ramenés à la résolution d'une équation trigonométrique simple.

À titre d'exemple, consulter l'exercice 8-4

Second cas : si p et r ont même signe

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