Formule d'inversion de Pascal/Application au dénombrement des dérangements

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Définition

Nous appellerons dérangement, une permutation ne laissant aucun point fixe.

Nous noterons N_n le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ne laissant aucun point fixe, appelées aussi dérangements.

Le nombre total de permutations d’un ensemble à n élément étant n!, nous procéderons comme dans le chapitre précédent en décomposant celui-ci en la somme des nombres des applications dérangeant successivement k éléments pour k allant de 0 à n.

Pour déranger k éléments dans un ensemble à n éléments, il faut choisir les k éléments devant être dérangés, soit $\scriptstyle {n \choose k}$ possibilités. Puis effectivement déranger ces k éléments, soit N_k possibilités. Il y a donc $\scriptstyle {n \choose k}$ × N_k façons de déranger k éléments dans un ensemble de n éléments.

Nous pouvons donc écrire :

$n!=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}N_{k}$

en posant u_n = n! et v_n = N_n dans la formule d’inversion de Pascal :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}v_{k}\Leftrightarrow v_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}u_{k}$

nous obtenons :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad n!=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}N_{k}\Leftrightarrow N_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}k!$

Le nombre de dérangements d’un ensemble à n éléments est donc :

$N_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}k!$

En remarquant que :

${n \choose k}\times k!={\frac {n!}{(n-k)!}}$

on peut écrire :

$N_{n}=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{n-k}}{(n-k)!}}$

Et en faisant le changement d’indice k ↦ n - k, on obtient :

$N_{n}=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}$

Nous retiendrons :

Début d’un théorème

Théorème

Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ne laissant aucun point fixe, appelées aussi dérangements, est donné par :

$N_{n}=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}$

Fin du théorème

Voir aussi : Formule du crible/Dénombrement des dérangements.