En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Formule d'inversion de Pascal : Démonstration polynomiale Formule d'inversion de Pascal/Démonstration polynomiale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Nous avons démontré par diverses méthodes, dans les trois premiers chapitres :
Début d’un théorème
Formule d'inversion de Pascal
Pour tous où est un groupe abélien (par exemple ) :
.
Fin du théorème
Redémontrons ce théorème par une technique bien plus efficace : celle des fonctions génératrices (qui sont en général des séries formelles mais seront ici des polynômes on ne peut plus simples).
Début d'une démonstration
Démonstration
Il s'agit de montrer (pour fixé) que
;
.
Démontrons le point 1 (le point 2 se démontre de la même façon, ou se déduit du point 1 comme au chapitre 1).
Par interversion de l'ordre de sommation, on a
avec (pour )
.
Il s'agit donc simplement de vérifier que et .
Or (par construction même)
donc (d'après la formule du binôme)
,
ce qui (par identification des coefficients) prouve le résultat.