Formule d'inversion de Pascal/Exercices/Dénombrement des dérangements

En partant en randonnée, un groupe de 10 personnes possédant chacune une chambre laisse leurs 10 clefs à l’hôtelier qui, peu ordonné, se retrouve incapable, au retour des 10 randonneurs, de savoir à qui appartient chaque clef, celles-ci ayant été mélangées. Il décide donc de rendre au hasard une clef à chacun des randonneurs. Déterminer la probabilité que 3 personnes exactement se retrouvent avec leur clef.

Solution

Il y a autant de possibilité de rendre les 10 clefs que de permutations dans un ensemble à 10 clefs soit 10! possibilités. Pour dénombrer les permutations laissant 3 clefs fixes, il suffit de choisir les 3 clefs fixes en question soit ${\binom {10}{3}}=120$ possibilités et de dénombrer les dérangements des 7 clefs restantes, soit :

$N_{7}=7!\sum _{k=0}^{7}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}=1854$

possibilités.

La probabilité que 3 randonneurs exactement retrouvent leur clef sera donc :

${\frac {120\times 1854}{10!}}={\frac {103}{1680}}$.