Variables instrumentales/Exercices/Omission d'une variable explicative 2

Omission d'une variable explicative 2/2

On reprend le modèle de l'exercice du TD2. On rajoute des variables explicatives à ce modèle.

On cherche à expliquer le salaire par le niveau d'éducation, l'âge et le sexe.

$lw_{i}=\alpha _{1}+\alpha _{2}educ_{i}+\alpha _{3}age_{i}+\alpha _{4}sexe_{i}+\epsilon _{i}(EQ.1)$

En forme matricielle, ce modèle se réécrit comme suit :

$LW=\alpha X+u$

1/ Dans un premier temps, on va supposer que les variables de l'Eq1 sont exogènes. Sexe prend la valeur 1 si l'individu est une femme et 0 sinon. Trouvez l'effet toutes choses égales par ailleurs en pourcentage d’être une femme par rapport à être un homme que l’on notera $\theta _{1}$.

2/ Calculez ensuite la variance asymptotique de $\theta _{1}$.

Nous avons déjà vu dans l'exercice du TD2 qu’il y avait une variable omise, contenue dans le vecteur d'erreur $\epsilon$ qui est l'aptitude ou le talent (ability in English). Cette variable est supposée corrélée avec à la fois l'éducation et le salaire. Plus l'aptitude ou le talent est supposé élevé, plus le salaire et l'éducation sont supposés élevés.

Il y a donc un biais lors de l'estimation par MCO du paramètre associé à l'éducation.

Nous allons voir dans ce TD comment on peut résoudre (en partie) ce problème.

On suppose que l’on possède une variable z qui satisfait les conditions suivantes :

$C1:Cov(z,u)=0$

C2: Nous avons la projection de la variable éducation sur l’ensemble des variables exogènes $educ_{i}=\gamma _{1}+\gamma _{2}z_{i}+\gamma _{3}age_{i}+\gamma _{4}sexe_{i}+\varepsilon _{i}(EQ.2)$ et dans cette régression nous avons $\gamma _{2}\neq 0$. Dans cette dernière régression on a aussi le fait que $\varepsilon$ est non corrélé avec les variables explicatives.

3/ Commentez la relation entre ${\widehat {educ}}$ et $\epsilon$ où ${\widehat {educ}}$ est défini comme la projection de educ sur le sous-espace des variables explicatives $X$ : ${\widehat {educ}}={\hat {\gamma }}_{1}+{\hat {\gamma }}_{2}z_{i}+{\hat {\gamma }}_{3}age_{i}+{\hat {\gamma }}_{4}sexe_{i}$.

4/ Écrivez alors l'équation de salaire dans laquelle la variable $educ$ est remplacée par une variable exogène. Vous pouvez ainsi déduire un estimateur OLS du vecteur de paramètres $\alpha$.

5/ Écrivez la condition de moment qui vous permet d'estimer $\alpha$ .

6/ Déduisez de la question 2 l'estimateur de $\alpha$ . À quels endroits sont utilisées les conditions C1 et C2 ?

Appendices

L'équation EQ.1 est souvent appelée une forme structurelle et l'équation EQ.2 une forme réduite. Cette terminologie vient des méthodes à équations simultanées. Ce qu’il est important de retenir, c’est que l'équation EQ.2 est la projection de la variable endogène sur l’ensemble des variables exogènes.

On parle de variable instrumentale pour z. Le vecteur de variables instrumentales est le vecteur des variables exogènes.