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Variables aléatoires continues/Loi de Cauchy

Leçons de niveau 14
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Loi de Cauchy
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Chapitre no 5
Leçon : Variables aléatoires continues
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La loi de Cauchy, ou loi de Lorentz, est un exemple simple de loi n'admettant pas d'espérance, ni de moment d'ordre supérieur.

La loi de Cauchy est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.

On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir le chapitre 1).


Fonctions de densité

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Densité de la loi de Cauchy, pour différentes valeurs de et .

La fonction de densité d'une loi de Cauchy rappelle celle d'une loi normale, à savoir une forme de cloche, mais avec un étalement plus large.

Moments et médiane

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En particulier, une loi de Cauchy n'admet aucune espérance formellement. Toutefois :

donc

, ce qui laisse penser à une espérance, et le paramètre est souvent considéré comme tel.

Toutefois, ce paramètre a une autre propriété qui doit être retenue :

Début d’un théorème
Fin du théorème