Leçons de niveau 12

Variable aléatoire discrète/Vocabulaire et notations

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Vocabulaire et notations
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Chapitre no 1
Leçon : Variable aléatoire discrète
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Variable aléatoire discrète/Vocabulaire et notations
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Définition d'une variable aléatoire[modifier | modifier le wikicode]

Soit un univers muni d'une probabilité .

On appelle variable aléatoire toute application de dans qui à chaque événement élémentaire de associe un nombre réel (que l'on pourra éventuellement noté ).

L'ensemble des réels concernés est appelé univers image. Cet univers image sera noté soit soit .

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Exemple.

On lance un dé. est constitué des événements élémentaires suivant :

  • Le dé s'immobilise sur la face n° 1.
  • Le dé s'immobilise sur la face n° 2.
  • Le dé s'immobilise sur la face n° 3.
  • Le dé s'immobilise sur la face n° 4.
  • Le dé s'immobilise sur la face n° 5.
  • Le dé s'immobilise sur la face n° 6.


Sur cet univers , on peut définir la variable aléatoire suivante :

À chaque événement élémentaire, on associe le nombre inscrit sur la face du dessus une fois le dé immobilisé.

Par exemple : à l'événement « Le dé s'immobilise sur la face n° 3 », on associe le nombre réel 3.

L'univers image sera alors : .


On aurait pu définir d'autre variable aléatoire sur le même univers .

Par exemple : Un joueur joue au dé. Il gagne 1 euro si le dé s'immobilise sur un nombre pair et il perd 1 euro si le dé s'immobilise sur un nombre impair.

Dans ce cas, pour illustrer cette situation, on peut définir la variable aléatoire suivante :

À tout événement élémentaire (lancé de dé), on associe le nombre réel 1 si le dé s'immobilise sur un nombre pair et on associe le nombre -1 si le dé s'immobilise sur un nombre impair.

L'univers image est donc dans ce cas : .


Définition d'une variable aléatoire discrète[modifier | modifier le wikicode]

On dira qu'une variable aléatoire est discrète si l'univers image est constitué de valeurs isolés. C'est la cas des deux exemples donnés dans le paragraphe précédent sur le lancé de dé.

Un exemple de variable aléatoire qui ne serait pas discrète (continue) serait par exemple la variable aléatoire qui à un tir de javelot associerait la distance à laquelle le javelot a été lancé.

Dans cette leçon, nous n'étudieront que les variables aléatoires discrètes. Les personnes intéressées par les variables aléatoires continu peuvent consulter la leçon Lois de probabilité continues.


Probabilité image d'une variable aléatoire discrète[modifier | modifier le wikicode]

Soit un univers sur lequel a été définie une probabilité et soit , une variable aléatoire dont l'univers image est .

On peut définir une probabilité sur l'univers image de la façon suivante :

À chaque nombre réel de l'univers image , on associe la probabilité de l'événement formé par l'ensemble des événements élémentaires auquel a été associé .

De façon rigoureuse, on devrait noter ceci :

Symboliquement, pour simplifier l'écriture, l'ensemble des événements élémentaires auquel on aura associé se notera :

(au lieu de )

On écrira donc de façon moins rigoureuse mais plus simple :

est appelé probabilité image. Dans la pratique, on n'écrira plus mais on écrira .

La donné de , pour chaque valeur de , définit la distribution de probabilité de .

Si l'on reprend les deux exemples de variable aléatoire donnés dans le paragraphe précédent :


Dans le premier exemple, la probabilité image sera défini par :


Dans le deuxième exemple, la probabilité image sera défini par :

Composée linéaire d'une variable aléatoire[modifier | modifier le wikicode]

Produit d'une variable aléatoire par un réel[modifier | modifier le wikicode]

Soit une variable aléatoire définie sur un univers et soit un réel.

On peut alors définir une nouvelle variable aléatoire que l'on notera en disant que l'image par d'un événement élémentaire de est le produit par de l'image de cet événement élémentaire par .

Si est un événement élémentaire de alors .

Somme d'une variable aléatoire et d'un réel[modifier | modifier le wikicode]

Soit une variable aléatoire définie sur un univers et soit un réel.

On peut alors définir une nouvelle variable aléatoire que l'on notera en disant que l'image par d'un événement élémentaire de est la somme de à l'image de cet événement élémentaire par .

Si est un événement élémentaire de alors .

Distribution de probabilité de [modifier | modifier le wikicode]

Soit une variable aléatoire définie sur un univers . Soit une variable aléatoire définie comme combinaison linéaire de par :

Si est un événement élémentaire de alors .

Soit alors un réel de .

On se propose de calculer

En revenant à une notation plus rigoureuse, on a :

Nous retiendrons :

Carré d'une variable aléatoire[modifier | modifier le wikicode]

Soit une variable aléatoire définie sur un univers . On définira le carré de la variable aléatoire , que l'on notera par :

Si est un événement élémentaire de alors .

Cette notion nous permettra de définir la variance d'une variable aléatoire au chapitre suivant.