Utilisateur:Yapper/trigonometrie

Les formules trigo

Formules fondamentales

• $\cos ^{2}\square +\sin ^{2}\square =1\quad \Rightarrow \quad 1+\tan ^{2}\square ={\frac {1}{\cos ^{2}\square }}$
• $\cosh ^{2}\square -\sinh ^{2}\square =1\quad \Rightarrow \quad 1-\tanh ^{2}\square ={\frac {1}{\cosh ^{2}\square }}$

Formules d'addition

La formule d'addition de cosinus se retrouve en extrayant la partie réelle $e^{i(a+b)}=e^{ia}e^{ib}$.

La formule d'addition de sinus se retrouve en extrayant la partie imaginaire $e^{i(a+b)}=e^{ia}e^{ib}$.

La formule d'addition de tangente :

1. on utilise les formules d'addition de cosinus et sinus,
2. on force l'apparition de tangente au niveau du sinus grâce à $\sin =\cos \cdot \tan$,
3. on utilise la formule $1+\tan ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$.

Les formules de différence se déduisent des formules d'addition par parité ou imparité des fonctions circulaires.

Transformation de Produit en Somme

Il est important d’avoir des sommes à la place des produits, si l’on veut intégrer ou sommer des expressions.

On transforme un produit $CC$, $SS$ ou $SC$ en somme en utilisant les formules d'addition.

Transformation de Somme en Produit

Il est important d’avoir des produits à la place des sommes, si l’on veut étudier le signe d'une expression ou factoriser.

Méthodologie

• On pose $p=a+b$ et $q=a-b$,
• On utilise les formules d'addition,
• On remplace $a$ par ${\frac {p+q}{2}}$ et $b$ par ${\frac {p-q}{2}}$.

Formules impliquant la tangente de l'arc moitié

On cherche à exprimer $\cos(x)$, $\sin(x)$ et $\tan(x)$ en fonction de $t=tan({\frac {x}{2}})$. Pour retrouver ces formules :

• On remplace $x$ par ${\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}$,
• On utilise les formules d'addition,
• On force l'apparition de tangente au niveau du sinus
• On utilise la relation $\cos ^{2}(x)={\frac {1}{1+\tan ^{2}(x)}}$.

Résolution des équations trigo du type $f(\square )=f(\triangle )$

• $\cos(x)=\cos(y)\quad \Leftrightarrow \quad x\equiv y[2\pi ]\quad {\text{ou}}\quad x\equiv y[2\pi ]$
• $\sin(x)=\sin(y)\quad \Leftrightarrow \quad x\equiv y[2\pi ]\quad {\text{ou}}\quad x\equiv \pi -y[2\pi ]$
• $\tan(x)=\tan(y)\quad \Leftrightarrow \quad x\equiv y[\pi ]$